Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = + +

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 9232:

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = $\frac{a\sqrt{bc}}{a+\sqrt{bc}}$ + $\frac{b\sqrt{ac}}{b+\sqrt{ac}}$ + $\frac{c\sqrt{ab}}{c+\sqrt{ab}}$

A. maxA = - $\frac{1}{3}$

B. maxA = - $\frac{1}{2}$

C. maxA = $\frac{1}{2}$

D. maxA = $\frac{1}{3}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:9232

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương bất kỳ x và y, ta có:

xy ≤ $\frac{(x+y)^{2}}{2}$ ⇔ $\frac{xy}{x+y}$ ≤ $\frac{x+y}{4}$

Vì các số a, b, c, $\sqrt{ab}$ , $\sqrt{ca}$ , $\sqrt{bc}$ đều dương nên ta áp dụng kết quả trên, ta có:

$\frac{a\sqrt{bc}}{a+\sqrt{bc}}$ ≤ $\frac{a+\sqrt{bc}}{4}$ ; $\frac{b\sqrt{ac}}{b+\sqrt{ac}}$ ≤ $\frac{b+\sqrt{ac}}{4}$ ; $\frac{c\sqrt{ab}}{c+\sqrt{ab}}$ ≤ $\frac{c+\sqrt{ab}}{4}$

Kết hợp với các BĐT $\sqrt{bc}$ ≤ $\frac{b+c}{2}$ ; $\sqrt{ca}$ ≤ $\frac{c+a}{2}$ ; $\sqrt{ab}$ ≤ $\frac{a+b}{2}$ , suy ra

A ≤ $\frac{1}{4}$ (a + $\sqrt{bc}$ + b + $\sqrt{ca}$ + c + $\sqrt{ab}$ ) ≤ $\frac{1}{2}$ (a + b + c) = $\frac{1}{2}$

A = $\frac{1}{2}$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{bc};b=\sqrt{ca};c=\sqrt{ab}\\a=b=c \\ a+b+c=1 \end{matrix}\right.$ ⇔ a = b = c = $\frac{1}{3}$

Vậy maxA = $\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.