Cho các số dương x, y , z thỏa mãn xyz + x + y – z = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = +

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 9257:

Cho các số dương x, y , z thỏa mãn xyz + x + y – z = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = $\frac{2}{x^{2}+1}$ + $\frac{3}{y^{2}+1}$ - $\frac{2}{z^{2}+1}$ .

A. P_max = $\frac{10}{7}$

B. P_max = $\frac{10}{3}$

C. P_max = $\frac{3}{8}$

D. P_max = $\frac{9}{8}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:9257

Giải chi tiết

Ta có: xyz + x + y = z ⇔x + y = z(1 –xy) ⇔ z = $\frac{x+y}{1-xy}$ (vì x, y ,z > 0 => 1 –xy > 0)

Đặt x = tanα, y = tanβ với α, β ∈(0; $\frac{\pi }{2}$ ) khi đó z = tan(α + β) và biểu thức trở thành: P = $\frac{2}{1+tan^{2}\alpha }$ + $\frac{3}{1+tan^{2}\\\beta }$ - $\frac{2}{1+tan^{2}(\alpha +\beta )}$

= 2cos²α + 3cos²β – 2cos²(α + β)

= cos2α+ 1 + 3cos²β - [cos(2α + 2β ) + 1]

= 2sinβsin(2α + β) + 3(1 – sin²β)

Đặt t = sinβ thì P ≤ -3t² + 2t + 3 = -3( t - $\frac{1}{3}$ )² + $\frac{10}{3}$ ≤ $\frac{10}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : $\left\{\begin{matrix}sin\beta =\frac{1}{3}\\sin(2\alpha +\beta )=1\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}sin\beta =\frac{1}{3}\\2\alpha =\frac{\pi }{2}-\beta +2k\pi \end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}sin\beta =\frac{1}{3}\\\cos2\alpha =sin\beta \end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}cos^{2}\beta =\frac{8}{9}\\\cos^{2}\alpha =\frac{2}{3}\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}y^{2}=tan^{2}\beta =\frac{1}{8}\\x^{2}=tan^{2}\alpha =\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$

Do đó: P_max = $\frac{10}{3}$ tại , chẳng hạn (x; y ; z) = ( $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ; √2)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.