Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(0;2; - 1)$, $B(2;2; - 1)$ và đường thẳng $\Delta:\left\{

Câu hỏi số 947049:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(0;2; - 1)$, $B(2;2; - 1)$ và đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 2t} \\ {y = 3 + t\quad(t \in {\mathbb{R}})} \\ {z = 4 - 5t} \end{array} \right.$.

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{u} = (1;3;4)$.

Phương trình mặt cầu đường kính AB là ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $\Delta$ là $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z - 1}{- 5}$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và AB, khi đó $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{30}}{15}$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:947049

Phương pháp giải

a) Xác định vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng cho dưới dạng tham số bằng cách lấy các hệ số của t. So sánh với vectơ đề bài cho để xem chúng có cùng phương hay không.

b) Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Công thức tọa độ trung điểm: $x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2},y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2},z_{I} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2}$. Bán kính mặt cầu $R = \dfrac{AB}{2}$.

Viết phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính $R$: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$.

c) Đường thẳng d song song với $\Delta$ nên sẽ nhận VTCP của $\Delta$ làm VTCP của chính nó.

Áp dụng công thức phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $M(x_{0};y_{0};z_{0})$ và có VTCP $\overset{\rightarrow}{u} = (a;b;c)$ là: $\dfrac{x - x_{0}}{a} = \dfrac{y - y_{0}}{b} = \dfrac{z - z_{0}}{c}$.

d) Góc giữa hai đường thẳng được tính thông qua góc giữa hai VTCP của chúng: $\cos\alpha = \dfrac{\left| \overset{\rightarrow}{u_{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{u_{2}} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{u_{1}} \middle| \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{u_{2}} \right|}$.

Giải chi tiết

a) Sai. Từ phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$, ta lấy các hệ số của $t$, suy ra một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = (2;1; - 5)$.

Vectơ đề bài cho là $\overset{\rightarrow}{u} = (1;3;4)$ không cùng phương với $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = (2;1; - 5)$ do tỉ lệ $\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{3}{1}$

b) Sai. Gọi I là trung điểm của AB, tọa độ của $I(1;2; - 1)$.

Độ dài đoạn thẳng AB là: $AB = \sqrt{{(2 - 0)}^{2} + {(2 - 2)}^{2} + {( - 1 - ( - 1))}^{2}} = \sqrt{4 + 0 + 0} = 2$.

Bán kính mặt cầu là $R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$. Suy ra $R^{2} = 1$.

Phương trình mặt cầu đường kính AB là: ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 1$.

c) Sai. Đường thẳng d song song với $\Delta$ nên nhận VTCP của $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = (2;1; - 5)$ làm VTCP.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(0;2; - 1)$.

Phương trình chính tắc của d là: $\left. \dfrac{x - 0}{2} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z - ( - 1)}{- 5}\Leftrightarrow\dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z + 1}{- 5} \right.$

d) Đúng. Ta có VTCP của $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = (2;1; - 5)$.

VTCP của đường thẳng AB chính là $\overset{\rightarrow}{AB} = (2 - 0;2 - 2; - 1 - ( - 1)) = (2;0;0)$.

Góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng $\Delta$ và AB thỏa mãn:

$\cos\alpha = \dfrac{\left| \overset{\rightarrow}{u_{\Delta}}.\overset{\rightarrow}{AB} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} \middle| . \middle| \overset{\rightarrow}{AB} \right|}$$= \dfrac{\left| 2.2 + 1.0 + ( - 5).0 \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {( - 5)}^{2}}.\sqrt{2^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = \dfrac{\sqrt{30}}{15}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.