Cho hàm số $f\left( x \right)$ có $f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1$ và

Câu hỏi số 947261:

Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có $f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1$ và $f'\left( x \right) = \dfrac{{\sin x + \sin 3x}}{{2{{\sin }^4}x.\cos x}},$ $\,\forall x \in \left( {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right)$. Khi đó $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {f\left( x \right)dx} $ bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: -2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:947261

Phương pháp giải

- Từ nguyên hàm $f'\left( x \right)$ tìm $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} $. Sử dụng công thức nhân ba: $\sin 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x$.

- Sau đó tính tích phân $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {f\left( x \right)dx} $.

Giải chi tiết

Ta có: $f'\left( x \right) = \dfrac{{\sin x + \sin 3x}}{{2{{\sin }^4}x.\cos x}},\,\forall x \in \left( {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right) \Rightarrow $Trên khoảng $\left( {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right)$:

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int {\dfrac{{\sin x + \sin 3x}}{{2{{\sin }^4}x.\cos x}}} \,dx = \int {\dfrac{{\left( {\sin x + 3\sin x - 4{{\sin }^3}x} \right)\cos x}}{{2{{\sin }^4}x.\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}}} \,dx\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\dfrac{{4\sin x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos x}}{{2{{\sin }^4}x.\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}}} \,dx = 2\int {\dfrac{{\cos x}}{{{{\sin }^3}x}}} \,dx\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\int {{{\sin }^{ - 3}}x} \,d\left( {\sin x} \right) = 2.\dfrac{{{{\sin }^{ - 2}}x}}{{ - 2}} + C = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + C\end{array}$.

Mà $f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1 \Rightarrow - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{2}}} + C = - 1 \Leftrightarrow C = 0$ $ \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.

Vậy $\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{3\pi}{4}} \dfrac{-1}{\sin^2 x} dx = \cot x \Big|_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{3\pi}{4}}$

= \cot\left(\frac{3\pi}{4}\right) - \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = (-1) - 1 = -2

Đáp án cần điền là: -2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.