Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + .

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 953:

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x² + y² + z²= 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = $\frac{x}{(y+z)^{2}}$ + $\frac{y}{(z+x)^{2}}$ + $\frac{z}{(x+y)^{2}}$ .

A. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là - $\frac{4}{3}$ , đạt khi x = y = z = 1

B. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\frac{4}{3}$ , đạt khi x = y = z = 1

C. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là - $\frac{3}{4}$ , đạt khi x = y = z = 1

D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\frac{3}{4}$ , đạt khi x = y = z = 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:953

Giải chi tiết

Sử dụng bất đẳng thức (a+b)² ≤ 2(a² +b²) ta có

P ≥ $\frac{1}{2}$ ( $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}$ + $\frac{y}{z^{2}+x^{2}}$ + $\frac{z}{x^{2}+y^{2}}$ ) = $\frac{1}{2}$ ( $\frac{x}{3-x^{2}}$ + $\frac{y}{3-y^{2}}$ + $\frac{z}{3-z^{2}}$ )

= $\frac{1}{2}$ ( $\frac{x^{2}}{x.(3-x^{2})}$ + $\frac{y^{2}}{y.(3-y^{2})}$ + $\frac{z^{2}}{z.(3-z^{2})}$ )

Vì x, y, z dương và x² + y² + z²= 3 nên x ∈ (0;√3)

Xét hàm f(x) = x(3-x²) trên (0;√3).

Ta có f'(x) = -3x²+3; f'(x)=0 ⇔ x=1 và f'(x)>0 ⇔ x∈(0;1)

Suy ra f(x) ≤ f(1) = 2 với mọi x∈(0;√3). Do đó $\frac{x^{2}}{x(3-x^{2})}$ ≥ $\frac{x^{2}}{2}$ .

Tương tự ta cũng $\frac{y^{2}}{y.(3-y^{2})}$ ≥ $\frac{y^{2}}{2}$ và $\frac{z^{2}}{z.(3-z^{2})}$ ≥ $\frac{z^{2}}{2}$

Từ đó suy ra P ≥ $\frac{1}{2}$ $\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}$ = $\frac{3}{4}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\frac{3}{4}$ , đạt khi x = y = z = 1.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.