Có 6 bì thư được đánh số từ 1 đến 6 và 6 cái tem cũng được

Câu hỏi số 956313:

Vận dụng

Có 6 bì thư được đánh số từ 1 đến 6 và 6 cái tem cũng được đánh số từ 1 đến 6. Người ta dán các tem thư vào các bì thư (mỗi thư chỉ dán 1 tem). Hỏi có bao nhiêu cách dán tem thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán tem có số trùng với số trên bì thư.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:956313

Phương pháp giải

Gọi $A_i$ là tập hợp các cách dán tem sao cho bì thư thứ i dán đúng tem thứ i ($i = 1, 2, \dots, 6$).

Yêu cầu của bài toán là tính số phần tử của hợp các tập hợp này:

$n(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5 \cup A_6)$.

Công thức tính số phần tử:

$S = \sum n(A_i) - \sum n(A_i \cap A_j) + \sum n(A_i \cap A_j \cap A_k) - \dots + (-1)^{6-1} n(A_1 \cap \dots \cap A_6)$

Giải chi tiết

Tính các trường hợp có k thư đúng trong 6 thư:

- Có 1 thư dán đúng ($k=1$), thư còn lại dán tuỳ ý

Chọn 1 thư trong 6 thư để dán đúng: có $C_6^1$ cách.

5 thư còn lại dán tùy ý: có 5! cách.

$\Rightarrow \sum n(A_i) = C_6^1 \cdot 5! = 6 \cdot 120 = 720$.

- Có 2 thư dán đúng ($k=2$), thư còn lại dán tuỳ ý

Chọn 2 thư trong 6 thư để dán đúng: có $C_6^2$ cách.

4 thư còn lại dán tùy ý: có 4! cách.

$\Rightarrow \sum n(A_i \cap A_j) = C_6^2 \cdot 4! = 15 \cdot 24 = 360$.

- Có 3 thư dán đúng ($k=3$), thư còn lại dán tuỳ ý

Chọn 3 thư trong 6 thư để dán đúng: có $C_6^3$ cách.

3 thư còn lại dán tùy ý: có 3! cách.

$\Rightarrow \sum n(A_i \cap A_j \cap A_k) = C_6^3 \cdot 3! = 20 \cdot 6 = 120$.

- Có 4 thư dán đúng ($k=4$), thư còn lại dán tuỳ ý

Chọn 4 thư dán đúng: $C_6^4$ cách. Còn lại 2! cách dán 2 thư kia.

$\Rightarrow C_6^4 \cdot 2! = 15 \cdot 2 = 30$.

- Có 5 thư dán đúng ($k=5$), thư còn lại tuỳ ý

Chọn 5 thư dán đúng: $C_6^5$ cách. Còn lại 1 cách dán thư cuối (hiển nhiên đúng).

$\Rightarrow C_6^5 \cdot 1! = 6 \cdot 1 = 6$.

- Cả 6 thư đúng ($k=6$): Có 1 cách.

Áp dụng công thức:

$S = \sum n(A_i) - \sum n(A_i \cap A_j) + \sum n(A_i \cap A_j \cap A_k) - \dots + (-1)^{6-1} n(A_1 \cap \dots \cap A_6)$

$= 720 - 360 + 120 - 30 + 6 - 1=455$

Chú ý khi giải

Có thể sử dụng công thức tính Số các hoán vị không điểm cố định như sau:

Số cách dán sai hoàn toàn cho n phần tử ($D_n$) là:

D_n = n! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)

Với $n = 6$, ta có: $D_6 = 6! \left( \dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!} - \dfrac{1}{5!} + \dfrac{1}{6!} \right)=265$ cách

Vậy số cách dán sao cho có ít nhất một bì thư dán đúng số là:

n(A) = n(\Omega) - D_6 = 720 - 265 = 455 \text{ (cách)}

Đáp án cần điền là: 455

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.