Cho một hình bát giác đều ABCDEFGH nội tiếp trong một đường tròn tâm O như hình bên. Gắn

Câu hỏi số 957145:

Vận dụng

Cho một hình bát giác đều ABCDEFGH nội tiếp trong một đường tròn tâm O như hình bên. Gắn ngẫu nhiên tám số tự nhiên $\left\{ 9;10;11;12;13;14;15;16 \right\}$ vào tám đỉnh của bát giác đều này (mỗi số gắn đúng một đỉnh). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh lấy từ tám đỉnh của bát giác đã cho. Gọi xác suất để thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là $\dfrac{m}{n}$ ($m,n \in {\mathbb{N}}^{*}$; $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị của $m + n$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:957145

Phương pháp giải

Tính số lượng các tập con gồm 3 số lập thành một cấp số cộng từ tập $\left\{ 9;10;...;16 \right\}$.

Tính tổng số tam giác có thể lập được từ 8 đỉnh của bát giác đều và số lượng tam giác vuông trong số đó.

Sử dụng tính độc lập giữa việc chọn vị trí hình học và việc gán nhãn số để tính xác suất.

Giải chi tiết

Số tam giác có thể chọn từ 8 đỉnh là $C_{8}^{3} = 56$.

Một tam giác nội tiếp đường tròn là tam giác vuông khi và chỉ khi có một cạnh là đường kính. Bát giác đều có 4 đường kính (AE, BF, CG, DH). Với mỗi đường kính làm cạnh huyền, có 6 cách chọn đỉnh còn lại để tạo thành tam giác vuông.

Vậy tổng số tam giác vuông là $4.6 = 24$.

Xác suất để một tam giác được chọn ngẫu nhiên là tam giác vuông là $P_{1} = \dfrac{24}{56} = \dfrac{3}{7}$.

Xét tập số $S = \left\{ 9;10;11;12;13;14;15;16 \right\}$. Số tập con có 3 phần tử là $C_{8}^{3} = 56$.

Các bộ 3 số lập thành cấp số cộng:

- Công sai $d = 1$: $(9,10,11)$, $(10,11,12)$, $(11,12,13)$, $(12,13,14)$, $(13,14,15)$, $(14,15,16)$ $\Rightarrow$ 6 bộ.

- Công sai $d = 2$: $(9,11,13)$, $(10,12,14)$, $(11,13,15)$, $(12,14,16)$ $\Rightarrow$ 4 bộ.

- Công sai $d = 3$: $(9,12,15)$, $(10,13,16)$ $\Rightarrow$ 2 bộ.

Tổng cộng có $6 + 4 + 2 = 12$ bộ số thỏa mãn.

Xác suất để 3 số tại 3 đỉnh của một tam giác bất kỳ lập thành cấp số cộng là $P_{2} = \dfrac{12}{56} = \dfrac{3}{14}$.

Vì việc gán số và chọn tam giác là độc lập, xác suất cần tìm là $P = P_{1}.P_{2} = \dfrac{3}{7}.\dfrac{3}{14} = \dfrac{9}{98}$.

Ta có $m = 9$, $n = 98$. Vậy $m + n = 107$.

Đáp án cần điền là: 107

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.