Một vật thể dùng để trang trí nội thất có dạng như hình (H1) bên dưới. Đây là một khối

Câu hỏi số 957150:

Vận dụng

Một vật thể dùng để trang trí nội thất có dạng như hình (H1) bên dưới. Đây là một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(R)$ (phần gạch chéo trong hình (H2)) quanh trục AB. Hình phẳng $(R)$ được giới hạn bởi các cạnh AB, AD của hình vuông ABCD tâm I, độ dài cạnh 4 cm và các cung phần tư $\overset{\frown}{DI}$, $\overset{\frown}{IB}$ của các đường tròn bán kính bằng 2 cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, AB. Thể tích của vật thể (H1) bằng bao nhiêu xentimét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:957150

Phương pháp giải

Thiết lập hệ trục tọa độ Oxy để xác định phương trình các đường biên của hình phẳng $(R)$.

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành: $V = \pi{\int_{a}^{b}f}{(x)}^{2}dx$.

Chia khối vật thể thành các phần tương ứng với các cung tròn.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $A(0;0)$, $B(4;0)$, $D(0;4)$. Trục quay là trục Ox (đường thẳng AB).

Hình phẳng $(R)$ được giới hạn bởi $x = 0$, $y = 0$ và đường cong trên.

- Cung $\overset{\frown}{DI}$: Tâm $M(0;2)$ là trung điểm AD, bán kính $r = 2$

Phương trình: $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$.

Với phần phía trên $y = 2$ và $x \in \lbrack 0;2\rbrack$, ta có $y = 2 + \sqrt{4 - x^{2}}$

- Cung $\overset{\frown}{IB}$: Tâm $N(2;0)$ là trung điểm AB, bán kính $r = 2$

Phương trình: ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$. Với $x \in \lbrack 2;4\rbrack$, ta có $y = \sqrt{4 - {(x - 2)}^{2}}$

Thể tích vật thể tròn xoay là $V = V_{1} + V_{2}$:

$V_{1} = \pi{\int_{0}^{2}\left( {2 + \sqrt{4 - x^{2}}} \right)^{2}}dx = \pi{\int_{0}^{2}{\left( {4 + 4 - x^{2} + 4\sqrt{4 - x^{2}}} \right)dx}}$

$= \pi\left\lbrack {8x - \dfrac{x^{3}}{3}} \right\rbrack_{0}^{2} + 4\pi{\int_{0}^{2}\sqrt{4 - x^{2}}}dx$$= \pi\left( {16 - \dfrac{8}{3}} \right) + 4\pi^{2} = \dfrac{40\pi}{3} + 4\pi^{2}$

$V_{2} = \pi{\int_{2}^{4}\left\lbrack \sqrt{4 - {(x - 2)}^{2}} \right\rbrack^{2}}dx = \pi{\int_{0}^{2}{(4 - u^{2})du}} = \pi\left\lbrack {4u - \dfrac{u^{3}}{3}} \right\rbrack_{0}^{2} = \dfrac{16\pi}{3}$

Tổng thể tích $V = \dfrac{40\pi}{3} + 4\pi^{2} + \dfrac{16\pi}{3} \approx 98,1$.

Đáp án cần điền là: 98,1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.