Hình vẽ dưới đây mô tả một cây cầu vượt có mặt cắt đứng là một phần parabol nối hai

Câu hỏi số 958786:

Vận dụng

Hình vẽ dưới đây mô tả một cây cầu vượt có mặt cắt đứng là một phần parabol nối hai điểm A, B và nhận đường trung trực của đoạn AB làm trục đối xứng, AB = 400 m. Khoảng cách từ đỉnh cây cầu đến AB bằng 8 m. Xét tiếp tuyến d tại điểm M trên mặt cầu, người ta quy ước $\tan(\Delta,d)$ là độ dốc tại M của mặt cầu, với $\Delta$ là đường thẳng đi qua hai điểm A, B. Độ dốc lớn nhất của mặt cầu là bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:958786

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxy với O là trung điểm của AB, xác định phương trình của parabol (P) mô phỏng mặt cắt của cây cầu.

Tính đạo hàm y' để tìm hệ số góc của tiếp tuyến d tại điểm M có hoành độ x.

Sử dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm, góc giữa đường thẳng và trục hoành: $\left. \tan(\Delta,d) = \middle| y'(x) \right|$.

Khảo sát và tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 200;200\rbrack$.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O là trung điểm của đoạn thẳng AB, trục Ox nằm trên đường thẳng $\Delta$ chứa A và B (chiều dương hướng từ A sang B), trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng AB hướng lên trên.

Khi đó, mặt cắt cây cầu là một phần của parabol $(P)$ có đỉnh $I(0;8)$ thuộc trục Oy.

Phương trình của parabol $(P)$ có dạng $y = ax^{2} + c$.

Do parabol có đỉnh $I(0;8)$ nên $c = 8$, suy ra phương trình có dạng $y = ax^{2} + 8$.

Đoạn thẳng AB = 400 m và O là trung điểm nên OB = 200 m. Do đó điểm B nằm trên trục Ox có tọa độ $B(200;0)$.

Vì parabol đi qua điểm $B(200;0)$ nên ta có:

$\left. 0 = a \cdot 200^{2} + 8\Leftrightarrow 40000a = - 8\Leftrightarrow a = - \dfrac{1}{5000} \right.$

Vậy phương trình parabol là $y = - \dfrac{1}{5000}x^{2} + 8$ với $x \in \lbrack - 200;200\rbrack$.

Đạo hàm của hàm số: $y' = - \dfrac{1}{2500}x$.

Gọi $M(x;y)$ là một điểm bất kỳ trên mặt cầu, hoành độ $x \in \lbrack - 200;200\rbrack$.

Tiếp tuyến d của parabol tại M có hệ số góc là $k = y'(x) = - \dfrac{1}{2500}x$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua A, B trùng với trục Ox. Theo quy ước, độ dốc tại M là $\tan(\Delta,d)$.

Vì tan của góc giữa một đường thẳng và trục hoành bằng trị tuyệt đối hệ số góc của đường thẳng đó, nên:

$\tan(\Delta,d) = |k| = \left| {- \dfrac{1}{2500}x} \right| = \dfrac{|x|}{2500}$

Vì $x \in \lbrack - 200;200\rbrack$ nên $\left. 0 \leq \middle| x \middle| \leq 200 \right.$.

Suy ra độ dốc tại M thỏa mãn: $\tan(\Delta,d) = \dfrac{|x|}{2500} \leq \dfrac{200}{2500} = \dfrac{2}{25} = 0,08$

Dấu bằng xảy ra khi $\left. |x| = 200\Leftrightarrow x = \pm 200 \right.$ (tức là tại các vị trí đầu cầu $A$ và $B$).

Vậy độ dốc lớn nhất của mặt cầu là 0,08.

Đáp án cần điền là: 0,08

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.