Hình vẽ dưới đây mô tả một căn phòng hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với AB = 3 m, BB' = BC = 4

Câu hỏi số 958785:

Vận dụng

Hình vẽ dưới đây mô tả một căn phòng hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với AB = 3 m, BB' = BC = 4 m, tại C có một tổ kiến. Kiến 1 xuất phát từ A' bò về tổ với vận tốc 0,02 m/s trên hai đoạn thẳng liên tiếp A'B, BC. Kiến 2 xuất phát từ D bò về tổ với vận tốc 0,06 m/s trên hai đoạn thẳng liên tiếp DC', C'C. Biết rằng, hai con kiến xuất phát cùng một lúc. Hỏi, khi kiến 2 còn cách tổ 1 m thì khoảng cách giữa hai con kiến là bao nhiêu m? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:958785

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa trong không gian (Oxyz) theo chương trình Toán 12:

Chọn hệ trục tọa độ phù hợp và xác định tọa độ các điểm liên quan trong hình hộp chữ nhật.

Tính thời gian t từ lúc xuất phát đến khi kiến 2 cách tổ 1 m dựa vào vận tốc và quãng đường đi được.

Tính quãng đường kiến 1 đi được trong thời gian t, từ đó xác định tọa độ vị trí của kiến 1 và kiến 2 tại thời điểm đó thông qua vectơ.

Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian để tìm kết quả và làm tròn.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc tọa độ tại điểm $A(0;0;0)$. Các tia AB, AD, AA' lần lượt trùng với các trục Ox, Oy, Oz.

Từ giả thiết AB = 3 m, AD = BC = 4 m, AA' = BB' = 4 m, ta suy ra tọa độ các điểm:

$A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $D(0;4;0)$, $A'(0;0;4)$, $C(3;4;0)$, $C'(3;4;4)$.

Ta đi tính độ dài các đoạn đường mà hai con kiến di chuyển:

Kiến 1 đi trên A'B và BC: Có $A'B = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ (m) và $BC = 4$ (m).

Kiến 2 đi trên DC' và C'C: Có $DC' = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ (m) và đoạn $C'C = 4$ (m).

Theo đề bài, khi kiến 2 còn cách tổ C đoạn 1 m, nghĩa là nó đang bò trên đoạn C'C và đã đi được quãng đường là: $s_{2} = DC' + (C'C - 1) = 5 + 3 = 8$ (m).

Thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm đó là: $t = \dfrac{s_{2}}{v_{2}} = \dfrac{8}{0,06} = \dfrac{400}{3}$ (s).

Trong thời gian t, quãng đường kiến 1 đã bò được là: $s_{1} = v_{1} \cdot t = 0,02 \cdot \dfrac{400}{3} = \dfrac{8}{3}$ (m).

Vì $s_{1} = \dfrac{8}{3} < 5$ m nên tại thời điểm này, kiến 1 vẫn đang nằm trên đoạn A'B.

Gọi $K_{1},K_{2}$ lần lượt là vị trí của kiến 1 và kiến 2 tại thời điểm $t$:

Vì $K_{2}$ nằm trên đoạn C'C, cách $C(3;4;0)$ một khoảng $1$ m suy ra tọa độ $K_{2}(3;4;1)$.

Vì $K_{1}$ thuộc đoạn A'B thỏa mãn độ dài $A'K_{1} = \dfrac{8}{3}$ m.

Ta có vectơ $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}B} = (3;0; - 4)$. Tỉ lệ $\dfrac{A'K_{1}}{A'B} = \dfrac{\dfrac{8}{3}}{5} = \dfrac{8}{15}$.

Do $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}K_{1}}$ và $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}B}$ cùng hướng nên:

$\left. \overset{\rightarrow}{A^{\prime}K_{1}} = \dfrac{8}{15}\overset{\rightarrow}{A^{\prime}B}\Leftrightarrow(x_{K_{1}} - 0;y_{K_{1}} - 0;z_{K_{1}} - 4) = \dfrac{8}{15}(3;0; - 4) = \left( {\dfrac{8}{5};0; - \dfrac{32}{15}} \right) \right.$.

Từ đó suy ra: $x_{K_{1}} = \dfrac{8}{5}$, $y_{K_{1}} = 0$, $z_{K_{1}} = 4 - \dfrac{32}{15} = \dfrac{28}{15}$.

Vậy $K_{1}\left( {\dfrac{8}{5};0;\dfrac{28}{15}} \right)$.

Khoảng cách giữa hai con kiến lúc này là độ dài đoạn thẳng $K_{1}K_{2}$:

$K_{1}K_{2} = \sqrt{\left( {3 - \dfrac{8}{5}} \right)^{2} + {(4 - 0)}^{2} + \left( {1 - \dfrac{28}{15}} \right)^{2}} \approx 4,33$ (m)

Đáp án cần điền là: 4,33

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.