Trong một cuộc thi, có 7 thí sinh đã được xếp ngồi cố định quanh một bàn tròn và giám thị

Câu hỏi số 959051:

Vận dụng

Trong một cuộc thi, có 7 thí sinh đã được xếp ngồi cố định quanh một bàn tròn và giám thị có 3 mã đề khác nhau (giả sử số lượng đề thi của mỗi mã là nhiều tùy ý). Hỏi có bao nhiêu cách phát đề cho các thí sinh, mỗi thí sinh 1 đề sao cho hai thí sinh ngồi cạnh nhau thì khác mã đề?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:959051

Phương pháp giải

Xác định số cách phát mã đề cho n thí sinh theo hàng thẳng sao cho hai người cạnh nhau luôn khác mã đề.

Liên hệ giữa mô hình hàng ngang và bàn tròn. Số cách xếp bàn tròn $S_{n}$ được tính bằng cách lấy tổng số cách xếp hàng ngang trừ đi các trường hợp mà người đầu và người cuối trùng mã đề (tương ứng với một bàn tròn có $n - 1$ người).

Áp dụng công thức truy hồi để tính lần lượt các giá trị cho đến khi đạt được giá trị $S_{7}$ cần tìm.

Giải chi tiết

Tính số cách phát đề cho n thí sinh theo hàng ngang (không khép kín):

Giả sử ta xếp $n$ thí sinh thành một hàng ngang, có 3 mã đề.

- Thí sinh thứ 1: Có 3 cách chọn mã đề.

- Thí sinh thứ 2: Có 2 cách chọn (phải khác thí sinh thứ 1).

- Thí sinh thứ 3: Có 2 cách chọn (phải khác thí sinh thứ 2).

- Thí sinh thứ n: Có 2 cách chọn (phải khác thí sinh thứ n-1).

Vậy tổng số cách xếp n thí sinh sao cho các cặp cạnh nhau khác mã đề là $L_{n} = 3.2^{n - 1}$

Chuyển sang mô hình bàn tròn:

Gọi $S_{n}$ là số cách phát đề cho n thí sinh quanh bàn tròn thỏa mãn yêu cầu (người thứ n và người thứ 1 cũng phải khác mã đề).

Trong $L_{n}$ cách xếp hàng ngang ở trên, có 2 trường hợp xảy ra đối với người thứ n và người thứ 1:

- Người thứ n khác mã đề người thứ 1: Đây là một cách xếp hợp lệ quanh bàn tròn ($S_{n}$).

- Người thứ n trùng mã đề người thứ 1: Nếu người thứ n trùng mã đề với người thứ 1, ta có thể coi hai người này là một vị trí duy nhất. Khi đó, bài toán trở thành số cách xếp hợp lệ quanh bàn tròn cho $n - 1$ người ($S_{n - 1}$).

Từ đó ta có công thức truy hồi: $\left. L_{n} = S_{n} + S_{n - 1} = 3.2^{n - 1}\Rightarrow S_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1} - S_{n - 1} \right.$

Ta có:

- Với $n = 3$: Người 1 có 3 cách, người 2 có 2 cách, người 3 có 1 cách $\left. \Rightarrow S_{3} = 3.2.1 = 6 \right.$.

- Với $n = 4$: $S_{4} = 3 \cdot 2^{4 - 1} - S_{3} = 3.8 - 6 = 18$

- Với $n = 5$: $S_{5} = 3 \cdot 2^{5 - 1} - S_{4} = 3.16 - 18 = 30$

- Với $n = 6$: $S_{6} = 3.2^{6 - 1} - S_{5} = 3.32 - 30 = 66$

- Với $n = 7$: $S_{7} = 3.2^{7 - 1} - S_{6} = 3.64 - 66 = 126$

Số cách phát đề thỏa mãn yêu cầu là 126.

Đáp án cần điền là: 126

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.