Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc ĐGNL HSA; V-ACT; Sư phạm Hà Nội
↪ ĐGNL Hà Nội (HSA) - Trạm 6 ↪ ĐGNL Hồ Chí Minh (V-ACT) - Trạm 7 ↪ ĐGNL Sư phạm Hà Nội - Trạm số 3
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Một thông tin nóng hổi bắt đầu lan truyền trong một cộng đồng gồm 20 nghìn

Câu hỏi số 959593:
Vận dụng

Một thông tin nóng hổi bắt đầu lan truyền trong một cộng đồng gồm 20 nghìn người. Gọi $P(t)$ là số lượng người đã biết thông tin này sau t giờ. Tại thời điểm ban đầu ($t = 0$), có 2 nghìn người biết tin. Sau 2 giờ, số người biết tin tăng lên thành 8 nghìn người. Tốc độ lan truyền tin tức $P'(t)$ (nghìn người/giờ) tỉ lệ thuận với tích của số người đã biết tin và số người chưa biết tin, thỏa mãn đẳng thức $P'(t) = \dfrac{r}{20}P(t)\left\lbrack {20 - P(t)} \right\rbrack$ (với $r > 0$ là hệ số lan truyền). Đặt $Q(t) = \dfrac{1}{P(t)} - \dfrac{1}{20}$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

Đúng Sai
a) Đạo hàm của hàm số $Q(t)$ là $Q'(t) = \dfrac{P'(t)}{\left\lbrack {P(t)} \right\rbrack^{2}}$.
b) Biểu thức liên hệ giữa $Q'(t)$ và $Q(t)$ là $Q'(t) = - rQ(t)$.
c) Giá trị của hệ số lan truyền $r$ lớn hơn 1.
d) Sau 4 giờ kể từ thời điểm ban đầu, tổng số người biết thông tin này vượt quá 15 nghìn người.

Đáp án đúng là: S; Đ; S; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:959593
Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp $\left( \dfrac{1}{u} \right)' = - \dfrac{u'}{u^{2}}$.

Thay biểu thức $P'(t)$ vào $Q'(t)$ để tìm mối liên hệ với $Q(t)$.

Giải phương trình $Q'(t) = - rQ(t)$ bằng cách tính tích phân để tìm hàm $Q(t)$, từ đó tìm r và tính $P(4)$.

Giải chi tiết

a) Sai: Ta có $Q'(t) = \left( {\dfrac{1}{P(t)} - \dfrac{1}{20}} \right)' = - \dfrac{P'(t)}{\left\lbrack {P(t)} \right\rbrack^{2}}$

b) Đúng: Ta có

$\begin{array}{l} {Q'(t) = - \dfrac{1}{\left\lbrack {P(t)} \right\rbrack^{2}} \cdot \dfrac{r}{20}P(t)\left\lbrack {20 - P(t)} \right\rbrack = - \dfrac{r}{20P(t)}\left\lbrack {20 - P(t)} \right\rbrack} \\ {= - r\left\lbrack {\dfrac{20}{20P(t)} - \dfrac{P(t)}{20P(t)}} \right\rbrack = - r\left\lbrack {\dfrac{1}{P(t)} - \dfrac{1}{20}} \right\rbrack = - rQ(t)} \end{array}$

c) Sai: $\left. Q'(t) = - rQ(t)\Rightarrow\dfrac{Q'(t)}{Q(t)} = - r \right.$

Ta có ${\int_{0}^{2}\dfrac{Q'(t)}{Q(t)}}dt = {\int_{0}^{2} -}rdt$$\left. \Leftrightarrow{\int_{0}^{2}\dfrac{1}{Q(t)}}d(Q(t)) = - r{\int_{0}^{2}d}t \right.$

$\left. \Leftrightarrow\ln \middle| Q(t) \middle| |_{0}^{2} = - rt|_{0}^{2} \right.$$\left. \Leftrightarrow\ln Q(2) - \ln Q(0) = - 2r \right.$$\left. \Leftrightarrow\ln\left( \dfrac{Q(2)}{Q(0)} \right) = - 2r \right.$

Tại thời điểm $t = 0$, có$P(0) = 2$ (nghìn người) $\left. \Rightarrow Q(0) = \dfrac{1}{P(0)} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{9}{20} \right.$

Tại thời điểm $t = 2$, có $P(2) = 8$ (nghìn người) $\left. \Rightarrow Q(2) = \dfrac{1}{P(2)} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{3}{40} \right.$

$\left. \Rightarrow\ln\left( \dfrac{\dfrac{3}{40}}{\dfrac{9}{20}} \right) = - 2r \right.$$\left. \Leftrightarrow\ln\left( \dfrac{1}{6} \right) = - 2r \right.$$\left. \Rightarrow r = \dfrac{\ln 6}{2} \approx 0,896 < 1. \right.$

d) Đúng: Ta có hàm số $Q(t)$ thỏa mãn

$\int_{0}^{t} \frac{Q'(x)}{Q(x)} dx = \int_{0}^{t} -r dx \Rightarrow \ln(Q(x)) \Big|_0^t = -rx \Big|_0^t \Rightarrow \ln\left(\frac{Q(t)}{Q(0)}\right) = -rt$

 $\Rightarrow\dfrac{Q(t)}{Q(0)} = e^{- rt}$

Tại thời điểm $t = 4$ (sau 4 giờ), có $\dfrac{Q(4)}{Q(0)} = e^{- 4r} = \left( e^{- 2r} \right)^{2}$

Thay $e^{- 2r} = \dfrac{1}{6}$ vào biểu thức trên ta được $\dfrac{Q(4)}{Q(0)} = \left( \dfrac{1}{6} \right)^{2} = \dfrac{1}{36}$

$\left. \Rightarrow Q(4) = \dfrac{1}{36} \cdot Q(0) = \dfrac{1}{36} \cdot \dfrac{9}{20} = \dfrac{1}{80} \right.$

Theo định nghĩa của hàm $Q(t) = \dfrac{1}{P(t)} - \dfrac{1}{20}$, ta có:

$\dfrac{1}{P(4)} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{80}$$\left. \Rightarrow\dfrac{1}{P(4)} = \dfrac{1}{80} + \dfrac{1}{20} \right.$

$\left. \Rightarrow P(4) = 16 \right.$ (nghìn người).

Đáp án cần chọn là: S; Đ; S; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn