Trong một kỳ thi bằng hình thức vấn đáp, ban tổ chức chuẩn bị một bộ câu hỏi gồm 12 câu

Câu hỏi số 960647:

Vận dụng

Trong một kỳ thi bằng hình thức vấn đáp, ban tổ chức chuẩn bị một bộ câu hỏi gồm 12 câu hỏi khác nhau, mỗi câu được đựng trong một phong bì kín giống hệt nhau. Có ba thí sinh A, B và C cùng tham gia. Quy tắc chọn câu hỏi như sau: mỗi thí sinh lần lượt chọn ngẫu nhiên 4 phong bì từ bộ 12 câu hỏi đó để xác định phần thi của mình (sau khi mỗi thí sinh chọn xong, các câu hỏi được hoàn trả lại để thí sinh tiếp theo vẫn chọn từ bộ 12 câu ban đầu).

Biết rằng xác suất để xảy ra đồng thời hai điều kiện:

- Có ít nhất một câu hỏi mà cả ba thí sinh A, B, C đều chọn giống nhau.

- Tổng số câu hỏi khác nhau mà cả ba thí sinh đã chọn được là đúng 9 câu.

được viết dưới dạng phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$ (với a, b là các số nguyên dương). Tính giá trị của biểu thức: $S = a + b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:960647

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu.

Gọi x, y, z lần lượt là số câu hỏi được chọn bởi đúng 1, đúng 2 và đúng 3 thí sinh.

Thiết lập hệ phương trình dựa trên tổng số câu hỏi được chọn và tổng số lượt chọn để tìm ra x, y, z.

Sử dụng quy tắc nhân và tổ hợp để tính số kết quả thuận lợi cho biến cố.

Tính xác suất và suy ra giá trị của a, b để tính S.

Giải chi tiết

Mỗi thí sinh chọn ngẫu nhiên 4 câu hỏi từ 12 câu hỏi (có hoàn trả lại), nên số phần tử của không gian mẫu là:

$n(\Omega) = C_{12}^{4} \times C_{12}^{4} \times C_{12}^{4} = {(C_{12}^{4})}^{3} = 495^{3} = 121287375$.

Nếu có đúng 1 câu mà 3 bạn A, B, C chọn giống nhau còn lại khác nhau thì tổng số câu hỏi khác nhau được 3 bạn chọn là $1 + 3 + 3 + 3 = 10$ câu hỏi

Vậy để tổng số số câu hỏi khác nhau được 3 bạn chọn là 9 thì phải có 1 câu chung cho đúng 2 người nữa.

Ta tính số cách chọn

Chọn 1 hỏi chung cho 3 bạn có 12 cách

Chọn 2 trong 3 bạn để có thêm 1 câu giống nhau nữa có $C_{3}^{2} = 3$ cách. Ta có thể giả sử 2 bạn đó là A, B

Chọn 1 câu hỏi trong 11 câu hỏi còn lại để 2 bạn A, B chọn giống nhau có 11 cách

Khi đó A chọn 2 câu còn lại trong 10 câu nên có $C_{10}^{2} = 45$ cách

Bạn B chọn 2 câu còn lại trong 8 câu nên có $C_{8}^{2} = 28$ cách

Bạn C chọn 3 câu còn lại trong 6 câu có $C_{6}^{3} = 20$ cách

Vậy có $12.3.11.45.28.20 = 9979200$ cách

Khi đó $P = \dfrac{9979200}{121287375} = \dfrac{448}{5445}$.

Vì $\dfrac{448}{5445}$ là phân số tối giản nên ta có $a = 448$ và $b = 5445$.

Vậy $S = a + b = 448 + 5445 = 5893$.

Đáp án cần điền là: 5893

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.