Nhân dịp nghỉ lễ 30/4, siêu thị X in ra 100 phiếu thưởng được đánh số thứ tự

Câu hỏi số 960669:

Vận dụng

Nhân dịp nghỉ lễ 30/4, siêu thị X in ra 100 phiếu thưởng được đánh số thứ tự từ 1 đến 100, mỗi phiếu ghi 1 số, các phiếu khác nhau ghi số khác nhau. Mỗi khách hàng trong 100 khách hàng đầu tiên đến siêu thị trong ngày 30/4 sẽ được nhận 1 phiếu thưởng. Những người được nhận phiếu thưởng có thể tìm thêm 2 người khác để ghép thành 1 nhóm có 3 người. Nếu tổng các số ghi trên 3 thẻ của 3 người trong nhóm bằng 100 thì mỗi người trong nhóm được nhận 50.000đ. Siêu thị quy định:

1) Một người có thể ghép vào nhiều nhóm nên có thể nhận thưởng nhiều lần.

2) Mỗi nhóm 3 người chỉ được nhận thưởng 1 lần.

Hỏi ban quản lý siêu thị phải chuẩn bị số tiền thưởng lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:960669

Phương pháp giải

Để tìm số nhóm 3 người thỏa mãn, ta đi tìm số tập hợp con gồm 3 phần tử phân biệt $\{x, y, z\}$ từ tập $\{1, 2, ..., 100\}$ sao cho $x + y + z = 100$.

Nhân số lượng nhóm tìm được với tổng tiền thưởng chi cho mỗi nhóm (150000 đồng).

Giải chi tiết

Để tìm số nhóm 3 người thỏa mãn, ta đi tìm số tập hợp con gồm 3 phần tử phân biệt $\{x, y, z\}$ từ tập $\{1, 2, ..., 100\}$ sao cho $x + y + z = 100$.

Trước hết, xét số nghiệm nguyên dương của phương trình $x + y + z = 100$ (có phân biệt thứ tự).

Theo bài toán chia kẹo Euler, số nghiệm nguyên dương là $C_{99}^2 = 4851$ (nghiệm).

Ta đi loại trừ các nghiệm có chứa các số trùng nhau:

Phương trình $3x = 100$ không có nghiệm nguyên dương nên không tồn tại trường hợp 3 số giống nhau ($x=y=z$).

Xét trường hợp có đúng 2 số giống nhau, giả sử $x = y$:

Ta có $2x + z = 100 \Rightarrow z = 100 - 2x$.

Vì $z \ge 1 \Rightarrow 100 - 2x \ge 1 \Rightarrow x \le 49$.

Vậy $x$ nhận các giá trị từ 1 đến 49 (có 49 bộ).

Tương tự cho các trường hợp $y = z$ và $z = x$.

Tổng cộng có $3 \times 49 = 147$ bộ nghiệm có 2 số trùng nhau.

Số bộ nghiệm có 3 số hoàn toàn phân biệt (có thứ tự) là: $4851 - 147 = 4704$ (bộ).

Vì mỗi nhóm 3 người là một tập hợp không phân biệt thứ tự, nên số nhóm thực tế lập được là:

N = \frac{4704}{3!} = 784 \text{ (nhóm)}

Tổng tiền thưởng lớn nhất siêu thị phải chuẩn bị (khi cả 784 nhóm đều nhận thưởng) là:

$784 \times 150.000 = 117.600.000$ (đồng).

Làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng, ta được 118 triệu đồng.

Đáp án: 118

Đáp án cần điền là: 118

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.