Do gặp mưa bão và sự cố nên một con tàu bị hỏng động cơ và thiết

Câu hỏi số 961266:

Vận dụng

Do gặp mưa bão và sự cố nên một con tàu bị hỏng động cơ và thiết bị liên lạc. Tại thời điểm cuối cùng trước khi mất liên lạc con tàu, radar của trung tâm phòng chống lụt bão xác định được tàu ở vị trí T(60; 75; 0) trong hệ Oxyz mà mỗi đơn vị trên trục tương ứng có độ dài 1 km.

Đội cứu hộ đã ngay lập tức dùng trực thăng cứu hộ, sau 2 phút trực thăng ở vị trí A(0; 0; 2). Trong điều kiện bình thường (không gió) động cơ máy bay đẩy được máy bay bay với tốc độ tối đa 400 km/h. Lúc này, sức gió mạnh sẽ đẩy máy bay với vận tốc 50 km/h và hướng theo $\overset{\rightarrow}{v_{1}} = \left( {4;3;0} \right)$. Động cơ trực thăng đẩy máy bay bay với vận tốc n km/h, hướng theo $\overset{\rightarrow}{v_{2}} = \left( {a;b;0} \right)$. Một chuyên gia cứu hộ ở trung tâm phân tích được gió và sóng biển đẩy con tàu đi với vận tốc 20 km/h và cũng hướng theo $\overset{\rightarrow}{v_{1}} = \left( {4;3;0} \right)$ nên đã sử dụng phương án tối ưu, cho máy bay bay từ A hướng đến vị trí có thể gặp được con tàu sớm nhất.

Tính từ thời điểm mất liên lạc con tàu, hãy tính thời gian sớm nhất máy bay tới được vị trí con tàu biết thời gian hạ cánh từ độ cao 2 km xuống mặt biển của máy bay là 1 phút (giả định để đảm bảo an toàn, máy bay cất và hạ cánh theo phương thẳng đứng đồng thời có cơ chế để cân bằng sức gió khi đó). (Tính theo đơn vị phút và làm tròn đến hàng phần chục).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:961266

Phương pháp giải

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

Giải chi tiết

Ta có $\left| \overset{\rightarrow}{v_{1}} \right| = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = 5$.

Gọi $\overset{\rightarrow}{u} = \dfrac{1}{5}\overset{\rightarrow}{v_{1}} = \left( {\dfrac{4}{5};\dfrac{3}{5};0} \right)$ là vecto đơn vị cùng hướng với $\overset{\rightarrow}{v_{1}} = \left( {4;3;0} \right)$.

Vecto vận tốc của tàu là $\overset{\rightarrow}{v_{T}} = 20.\overset{\rightarrow}{u} = (16;12;0)$.

Vị trí của tàu sau t giờ là: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 60 + 16t} \\ {y = 75 + 12t} \\ {z = 0} \end{array} \right.$.

Vecto vận tốc của gió là $\overset{\rightarrow}{v_{G}} = 50.\overset{\rightarrow}{u} = (40;30;0)$.

Vecto vận tốc thực tế của máy bay là: $\overset{\rightarrow}{v_{MB}} = \overset{\rightarrow}{v_{2}} + \overset{\rightarrow}{v_{G}}$.

Gọi x (giờ) là thời gian thực tế trực thăng bay ngang.

Vì máy bay ở vị trí A sau 2 phút = $\dfrac{1}{30}$ giờ; khi máy bay hạ cánh trong 1 phút = $\dfrac{1}{60}$ giờ thì tàu vẫn di chuyển nên tổng thời gian từ lúc tàu mất liên lạc đến khi máy bay hạ cánh xuống tàu là:

$x + \dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{60} = x + \dfrac{1}{20}$ (giờ).

Khi đó, xét trên mặt phẳng (Oxy):

$\left( {60 + 16\left( {x + \dfrac{1}{20}} \right);75 + 12\left( {x + \dfrac{1}{20}} \right)} \right) = x\overset{\rightarrow}{v_{2}} + \left( {40x;30x} \right)$

$\left. \Rightarrow\left( {\dfrac{304}{5} + 16x;\dfrac{378}{5} + 12x} \right) = x\overset{\rightarrow}{v_{2}} + \left( {40x;30x} \right) \right.$

$\left. \Rightarrow x\overset{\rightarrow}{v_{2}} = \left( {\dfrac{304}{5} - 24x;\dfrac{378}{5} - 18x} \right) \right.$.

Suy ra $400^{2}x^{2} = \left( {\dfrac{304}{5} - 24x} \right)^{2} + \left( {\dfrac{378}{5} - 18x} \right)^{2}$.

Giải phương trình trên được nghiệm dương $x \approx 0,226$ giờ $\approx 13,6$ phút.

Vậy thời gian sớm nhất máy bay đến được vị trí con tàu là $1 + 13,6 + 2 = 16,6$ phút.

Đáp án cần điền là: 16,6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.