Bản vẽ thiết kế một phần của công viên dành để trồng hoa (phần tô đậm

Câu hỏi số 963355:

Vận dụng

Bản vẽ thiết kế một phần của công viên dành để trồng hoa (phần tô đậm trong hình vẽ) trên một hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) là hình phẳng giới hạn bởi một đường tròn và đường cong $y=a^x (0<a<1)$ sao cho giao điểm của chúng là hai điểm $A(-3;8), B\left(2;\frac{1}{4}\right)$ đồng thời $AB$ là một đường kính của đường tròn đó. Diện tích phần đất trồng hoa đó là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 24

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:963355

Phương pháp giải

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường cong để tìm cơ số $a$.

Viết phương trình đường thẳng $AB$.

Tính bán kính $R$ của đường tròn đường kính $AB$, từ đó tính diện tích nửa hình tròn.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đoạn thẳng $AB$ và đường cong $y=a^x$ bằng tích phân.

Diện tích phần tô đậm bằng diện tích nửa hình tròn phía dưới đoạn thẳng $AB$ trừ đi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đoạn thẳng $AB$ và đường cong.

Giải chi tiết

Vì điểm $A(-3;8)$ thuộc đường cong $y=a^x$ nên $8 = a^{-3} \Leftrightarrow a = 8^{-\dfrac{1}{3}} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện $0<a<1$).

Vậy phương trình đường cong là $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$.

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A(-3;8)$ và $B\left(2;\dfrac{1}{4}\right)$ là:

$\dfrac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \dfrac{y - 8}{\dfrac{1}{4} - 8} \Leftrightarrow \dfrac{x+3}{5} = \dfrac{y-8}{-\dfrac{31}{4}} \Leftrightarrow y = -\dfrac{31}{20}x + \dfrac{67}{20}$.

Đường tròn có đường kính $AB$ nên bán kính $R = \dfrac{AB}{2}$.

Ta có $AB^2 = (2 - (-3))^2 + \left(\dfrac{1}{4} - 8\right)^2 = 25 + \dfrac{961}{16} = \dfrac{1361}{16}$.

Suy ra $R^2 = \dfrac{1361}{64}$.

Diện tích nửa hình tròn là $S_1 = \dfrac{1}{2}\pi R^2 = \dfrac{1361\pi}{128} \approx 33,40$.

Hình vẽ cho thấy phần tô đậm là phần nằm dưới đường cong $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ và được giới hạn bởi nửa đường tròn phía dưới đoạn $AB$.

Vì đường cong $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ có bề lõm hướng lên trên nên nằm dưới đoạn thẳng $AB$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đoạn thẳng $AB$ và đường cong là:

$S_2 = \int_{-3}^{2} \left( \left( -\dfrac{31}{20}x + \dfrac{67}{20} \right) - \left(\dfrac{1}{2}\right)^x \right) dx\approx 9,44$

Diện tích phần đất trồng hoa là $S = S_1 - S_2 \approx 33,40 - 9,44 = 23,96$.

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta được $24$.

Đáp án: 24

Đáp án cần điền là: 24

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.