Cho hàm số $f(x) = 2^{x^{2}}$ và hàm số $g(x) = \sqrt{\log_{2}x}$. Giả sử $S = {\int_{1}^{20}f}(x)dx +

Câu hỏi số 963221:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = 2^{x^{2}}$ và hàm số $g(x) = \sqrt{\log_{2}x}$. Giả sử $S = {\int_{1}^{20}f}(x)dx + {\int_{2}^{2^{400}}g}(x)dx$ được viết dưới dạng $S = a \cdot 2^{b} - c$, với b là số nguyên và a, c là các số nguyên tố. Tính $a + b + c$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:963221

Phương pháp giải

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân và tính chất đối xứng của đồ thị hàm số ngược qua đường thẳng $y = x$.

Tổng hai tích phân được tính thông qua việc bù trừ diện tích các hình chữ nhật trên hệ trục tọa độ.

Giải chi tiết

Xét hàm số $f(x) = 2^{x^{2}}$ có đồ thị là đường màu xanh và hàm $g(x) = \sqrt{\log_{2}x}$ có đồ thị là đường màu đỏ. Lấy điểm $M(x_{0};y_{0})$ bất kỳ thuộc đồ thị $y = f(x) = 2^{x^{2}}$. Ta có: $y_{0} = 2^{x_{0}^{2}}$

Lấy logarit cơ số 2 hai vế: $\log_{2}y_{0} = \log_{2}(2^{x_{0}^{2}}) = x_{0}^{2}$

Vì $x \geq 0$, ta lấy căn bậc hai hai vế: $x_{0} = \sqrt{\log_{2}y_{0}}$

Đặt $x_{0}$ là giá trị tung độ và $y_{0}$ là giá trị hoành độ của một hàm số mới, ta được hàm:

$y = \sqrt{\log_{2}x} = g(x)$.

Vì với mọi điểm $M(x_{0};y_{0})$ thuộc đồ thị $f(x)$ luôn tồn tại điểm $M'(y_{0};x_{0})$ thuộc đồ thị $g(x)$, nên hai đồ thị này đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$.

Trên đồ thị hàm số $f(x)$, ta có:

+) $\left. x = 1\Rightarrow y = 2^{1^{2}} = 2 \right.$, tương ứng với điểm $E(1;2)$.

+) $\left. x = 20\Rightarrow y = 2^{20^{2}} = 2^{400} \right.$, tương ứng với điểm $B(20;2^{400})$.

Tích phân $I_{1} = {\int_{1}^{20}{f(x)dx}}$ là diện tích DABE (giới hạn bởi đồ thị $f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$, $x = 20$).

Tích phân $I_{2} = {\int_{2}^{2^{400}}{g(x)dx}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $g(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 2,x = 2^{400}$.

Do đồ thị hàm ngược đối xứng qua $y = x$, diện tích này bằng diện tích hình FEBC (giới hạn bởi đồ thị $f(x)$, trục tung và hai đường thẳng $y = 2$, $y = 2^{400}$).

Khi đó $S = {\int_{1}^{20}{f(x)dx}} + {\int_{2}^{2^{400}}{g(x)dx}} = I_{1} + I_{2}$

$= S_{DABE} + S_{FEBC}$$= S_{OABC} - S_{ODEF} = (OA.OC) - (OD.OF)$

$= (20.2^{400}) - (1.2) = 5.4.2^{400} - 2 = 5.2^{402} - 2$

Vậy $a = 5$, $b = 402$, $c = 2$ suy ra $a + b + c = 409$

Đáp án cần điền là: 409

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.