Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Một cái thùng hình trụ không có nắp chứa một lượng chất lỏng. Một thiết bị lặn tự

Một cái thùng hình trụ không có nắp chứa một lượng chất lỏng. Một thiết bị lặn tự động di chuyển lên xuống theo trục thẳng đứng bên trong thùng. Biết rằng khoảng cách từ tâm thiết bị lặn đến đáy thùng được cho bởi công thức $s(t) = 50 - 20t \cdot e^{1 - t}$ (cm), theo thời gian $t$ tính bằng giây ($t \geq 0$).

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Thông hiểu

Thiết bị lặn đạt vị trí gần với đáy thùng nhất tại thời điểm nào dưới đây?

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:963836
Phương pháp giải

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $s(t)$ trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$.

Giải chi tiết

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $s(t)$ trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$.

Đạo hàm khoảng cách theo thời gian:

$s'(t) = - 20\left\lbrack {1 \cdot e^{1 - t} + t \cdot e^{1 - t} \cdot ( - 1)} \right\rbrack = - 20e^{1 - t}(1 - t) = 20e^{1 - t}(t - 1)$

Cho $\left. s'(t) = 0\Leftrightarrow t - 1 = 0\Leftrightarrow t = 1 \right.$.

Lập bảng biến thiên, ta thấy $s'(t) < 0$ khi $t \in \lbrack 0;1)$ và $s'(t) > 0$ khi $t > 1$.

Do đó, hàm số $s(t)$ đạt giá trị cực tiểu (cũng là giá trị nhỏ nhất) tại $t = 1$.

Vậy thiết bị gần đáy nhất tại thời điểm $t = 1$ giây.

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 2:
Thông hiểu

Gọi $v(t)$ là vận tốc tức thời của thiết bị lặn. Thời điểm nào dưới đây thiết bị di chuyển hướng lên trên với vận tốc lớn nhất (gia tốc triệt tiêu)?

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:963837
Phương pháp giải

Vận tốc tức thời của thiết bị là $v(t) = s'(t)$.

Tìm GTLN của hàm vận tốc

Giải chi tiết

Vận tốc tức thời của thiết bị là $v(t) = s'(t) = 20e^{1 - t}(t - 1)$.

Để tìm vận tốc lớn nhất, ta xét đạo hàm của vận tốc (tức gia tốc $a(t)$):

$a(t) = v'(t) = 20\left\lbrack {- e^{1 - t}(t - 1) + e^{1 - t} \cdot 1} \right\rbrack = 20e^{1 - t}(1 - t + 1) = 20e^{1 - t}(2 - t)$.

Cho $\left. a(t) = 0\Leftrightarrow 2 - t = 0\Leftrightarrow t = 2 \right.$.

Với $t < 2$ thì $a(t) > 0$ (vận tốc đang tăng), với $t > 2$ thì $a(t) < 0$ (vận tốc bắt đầu giảm).

Do đó, hàm vận tốc $v(t)$ đạt giá trị cực đại tại $t = 2$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

Để thiết kế một thùng chứa hình trụ không nắp bằng kim loại nhằm thử nghiệm thiết bị trên với một thể tích $V$ cho trước. Người thợ nhận thấy: do đặc thù chịu áp lực, chi phí vật liệu làm đáy thùng đắt gấp đôi chi phí vật liệu làm mặt xung quanh (tính trên cùng một đơn vị diện tích). Để tối ưu (giảm thiểu) tổng chi phí vật liệu, người thợ cần thiết kế tỉ số giữa chiều cao $h$ và bán kính đáy $r$ của thùng bằng bao nhiêu?

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:963838
Phương pháp giải

Gọi đơn giá vật liệu làm mặt xung quanh là $c$ (đồng/$m^{2}$).

Tính tổng chi phí vật liệu $C$ là hàm số theo biến $r$ và khảo sát tìm GTNN

Giải chi tiết

Gọi đơn giá vật liệu làm mặt xung quanh là $c$ (đồng/$m^{2}$).

Khi đó đơn giá vật liệu làm đáy thùng là $2c$ (đồng/$m^{2}$).

Thể tích hình trụ là $\left. V = \pi r^{2}h\Rightarrow h = \dfrac{V}{\pi r^{2}} \right.$.

Tổng chi phí vật liệu $C$ là hàm số theo biến $r$

$C(r) = c \cdot S_{xq} + 2c \cdot S_{day} = c(2\pi rh) + 2c(\pi r^{2}) = 2c\left( {\pi r\dfrac{V}{\pi r^{2}} + \pi r^{2}} \right) = 2c\left( {\dfrac{V}{r} + \pi r^{2}} \right)$

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong ngoặc $f(r) = \dfrac{V}{r} + \pi r^{2}$.

$f(r) = \dfrac{V}{2r} + \dfrac{V}{2r} + \pi r^{2} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{V}{2r} \cdot \dfrac{V}{2r} \cdot \pi r^{2}} = 3\sqrt[3]{\dfrac{\pi V^{2}}{4}}$.

Dấu "=" xảy ra khi $\left. \dfrac{V}{2r} = \pi r^{2}\Leftrightarrow V = 2\pi r^{3} \right.$.

Mà $V = \pi r^{2}h$, suy ra $\left. \pi r^{2}h = 2\pi r^{3}\Leftrightarrow h = 2r\Leftrightarrow\dfrac{h}{r} = 2 \right.$.

Đáp án cần chọn là: B

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn