Giải hệ phương trình: (x , y ∈ )

Câu hỏi số 10312:

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (4x^{2}+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0\\ 4x^{2}+y^{2}+2\sqrt{3-4x}=7 \end{matrix}\right.$ (x , y ∈ $\mathbb{R}$ )

A. (x ; y) = (- $\frac{1}{2}$ ; -2)

B. (x ; y) = ( $\frac{1}{2}$ ; 2)

C. (x ; y) = (- $\frac{1}{2}$ ; 2)

D. (x ; y) = ( $\frac{1}{2}$ ; -2)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:10312

Giải chi tiết

Điều kiện: x ≤ $\frac{3}{4}$ ; y ≤ $\frac{5}{2}$

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

(4x² + 1)2x = (5 – 2y + 1) $\sqrt{5-2y}$ (1)

Nhận xét: (1) có dạng: f(2x) = f( $\sqrt{5-2y}$ ) với f(t) = (t² + 1)t

Ta có: f’(t) = 3t² + 1 > 0, suy ra đồng biến trên R

Do đó : (1) ⇔ 2x = $\sqrt{5-2y}$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\y=\frac{5-4x^{2}}{2} \end{matrix}\right.$

Thế vào phương trình 4x² + y² + 2 $\sqrt{3-4x}$ = 7 của hệ tâ được:

4x² + ( $\frac{5}{2}$ - 2x²)² + 2 $\sqrt{3-4x}$ - 7 = 0 (2)

Nhận thấy x = 0 và x = $\frac{3}{4}$ không phải nghiệm của (2).

Xét hàm g(x) = 4x² + ( $\frac{5}{2}$ - 2x²)² + 2 $\sqrt{3-4x}$ - 7 trên khoảng (0 ; $\frac{3}{4}$ )

g'(x) = 8x - 8x( $\frac{5}{2}$ - 2x²) - $\frac{4}{\sqrt{3-4x}}$ = 4x(4x² - 3) - $\frac{4}{\sqrt{3-4x}}$ <0

⇒ Hàm số g(x) nghịch biến. Mặt khác g( $\frac{1}{2}$ ) = 0, do đó (2) có nghiệm duy nhất x = $\frac{1}{2}$ ⇒ y = 2

Vậy hệ có nghiệm (x ; y) = ( $\frac{1}{2}$ ; 2)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.