Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ

Câu hỏi số 104:

Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x³ + y³ + z³= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x² + 2y² + 3z².

A. Giá trị nhỏ nhất của P là $\sqrt[3]{4}$ , đạt được khi x = $\sqrt[3]{4}$ , y = z = 0.

B. Giá trị nhỏ nhất của P là $\sqrt[3]{4}$ , đạt được khi x = $\sqrt[3]{2}$ , y = z = 0.

C. Giá trị nhỏ nhất của P là $\sqrt[3]{4}$ , đạt được khi x = $\sqrt[3]{5}$ , y = z = 0.

D. Giá trị nhỏ nhất của P là $\sqrt[3]{4}$ , đạt được khi x = $\sqrt[3]{7}$ , y = z = 0.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:104

Giải chi tiết

Từ giả thiết x³ + y³ + z³ = 2 + 3xyz

⇔ (x + y + z)(x² + y² + z²- xy - yz - zx) = 2

⇔ (x + y + z)[ $\frac{3}{2}$ (x² + y² + z²) - $\frac{1}{2}$ (x + y + z)²] = 2.

Đặt t = x + y + z. Khi đó t>0 và x² + y² + z² = $\frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t}$ .

Xét hàm f(t) = $\frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t}$ trên (0; +∞).

Ta có f'(t) = $\frac{2}{3}$ t - $\frac{4}{3t^{2}}$ , f'(t) = 0 ⇔ t = $\sqrt[3]{2}$ và $\lim_{t\rightarrow0^{+}}$ f(t) = $\lim_{t\rightarrow+\infty}$ f(t) = +∞.

Do đó $\min_{t\epsilon\left(0;+\infty\right)}$ f(t) = f( $\sqrt[3]{2}$ ) = $\sqrt[3]{4}$ , đạt được khi t = $\sqrt[3]{2}$ .

Ta có P ≥ x² + y² + z² ≥ $\sqrt[3]{4}$ .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = $\sqrt[3]{2}$ , y = z = 0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\sqrt[3]{4}$ , đạt được khi x = $\sqrt[3]{2}$ , y = z = 0.

Nhận xét. Để chứng minh $\frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t}$ ≥ $\sqrt[3]{4}$ ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương.

Thật vậy: $\frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t}$ = $\frac{t^{2}}{3}$ + $\frac{2}{3t}$ + $\frac{2}{3t}$ ≥ 3 $\sqrt{\frac{t^{2}}{3}.\frac{2}{3t}.\frac{2}{3t}}$ = $\sqrt[3]{4}$ .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{t^{2}}{3}$ = $\frac{2}{3t}$ ⇔ t = $\sqrt[3]{2}$ .

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.