Cho x, y , z là các số thực dương thỏa xyz = 1. Chứng minh: + + ≥

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 10422:

Cho x, y , z là các số thực dương thỏa xyz = 1. Chứng minh: $\frac{1}{(1+x)^{3}}$ + $\frac{1}{(1+y)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+z)^{2}}$ ≥ $\frac{3}{8}$

A. $\frac{1}{(1+x)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+y)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+z)^{2}}$ ≥ $\frac{3}{2}$ .

B. $\frac{1}{(1+x)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+y)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+z)^{2}}$ ≥ $\frac{3}{4}$ .

C. $\frac{1}{(1+x)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+y)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+z)^{2}}$ ≥ $\frac{1}{2}$ .

D. $\frac{1}{(1+x)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+y)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+z)^{2}}$ ≥ $\frac{2}{3}$ .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:10422

Giải chi tiết

Ta có $\frac{1}{(1+x)^{3}}$ + $\frac{1}{(x+y)^{3}}$ + $\frac{1}{8}$ ≥ $\frac{3}{2}$ . $\frac{1}{(1+x)^{2}}$

Tương tự, ta được : 2VT ≥ $\frac{3}{2}$ .[ $\frac{1}{(1+x)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+y)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+z)^{2}}$ ] – $\frac{3}{8}$

Do đó ta cần chứng minh $\frac{1}{(1+x)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+y)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+z)^{2}}$ ≥ $\frac{3}{4}$ (2)

Ta có xyz = 1 nên ta có thể giả thiết xy ≥ 1

Khi đó ta có: $\frac{1}{(1+x)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+y)^{2}}$ ≥ $\frac{2}{1+xy}$ (3)

⇔2xy + (x² + y²)xy ≥ x² + y² + 2x²y²

⇔2xy(1 – xy) + (x² + y²)(xy – 1) ≥ 0

⇔(xy – 1)(x – y)² ≥ 0 (đúng do xy 1)

Áp dụng (3) ta được

VT(2) ≥ $\frac{1}{2(1+x^{2})}$ + $\frac{1}{2(1+y^{2})}$ + $\frac{1}{2(1+z^{2})}$ (vì 2(1 + x²) ≥ (1 + x²)…)

≥ $\frac{1}{2}$ ( $\frac{2}{1+xy}$ ) = $\frac{1}{(1+z)^{2}}$ (Do (3))

= $\frac{1}{1+\frac{1}{z}}$ + $\frac{1}{(1+z)^{2}}$ = $\frac{z}{z+1}$ + $\frac{1}{(1+z)^{2}}$ = $\frac{z^{2}+z+1}{(z+1)^{2}}$ = $\frac{4z^{2}+4z+4}{4(z+1)^{2}}$ = $\frac{3(z+1)^{2}+(z-1)^{2}}{4(z+1)^{2}}$ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{(z-1)^{2}}{(z+1)^{2}}$ ≥ $\frac{3}{4}$

Vậy (3) đúng =>(1)đúng =>(1) được chứng minh.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.