Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, AB = 2a, AD = 2a√3 các cạnh bên bằng nhau và bằng 3a, gọi M là trung điểm của OC. Tính thể tích khối chóp SABMD và diện tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SOCD.

Câu hỏi số 10421:

A. S_cầu = $\frac{29\pi a^{2}}{3}$ .

B. S_cầu = $\frac{31\pi a^{2}}{3}$ .

C. S_cầu = $\frac{\pi a^{2}}{3}$ .

D. S_cầu = $\frac{5\pi a^{2}}{3}$ .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:10421

Giải chi tiết

Ta có SA = SB = SC = SD nên SO ⊥(ABCD)

∆SOA = ∆SOD nên OA = OB= OC = OD =>ABCD là hình chữ nhật=>S_ABCD = AB.AD = 4a²√3

Ta có BD = $\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}$ = $\sqrt{4a^{2}+12a^{2}}$ = 4a

=>SO = $\sqrt{SB^{2}-OB^{2}}$ = $\sqrt{9a^{2}-4a^{2}}$ = a√5

Vậy V_SABCD = $\frac{1}{3}$ S_ABCD.SO = $\frac{4a^{3}\sqrt{15}}{3}$

Do đó V_SABMD = $\frac{3}{4}$ S_SABCD = a³√15

Gọi G là trọng tâm ∆OCD, vì ∆SOD đều nên G cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆COD.

Dựng đường thẳng d qua G và song song với SO thì d ⊥(ABCD) nên d là trục của ∆OCD.

Trong mặt phẳng (SOG) dựng đường trung trực của SO, cắt d tại K cắt SO tại I.

Ta có: OI là trung trực của SO =>KO = KS mà KO = KC = KD nên K là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOCD.

Ta có GO = $\frac{CD}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2a}{\sqrt{3}}$ ; R = KO = $\sqrt{OI^{2}+OG^{2}}$

= $\sqrt{\frac{5a^{2}}{4}+\frac{4a^{2}}{3}}$ = $\frac{a\sqrt{31}}{\sqrt{12}}$

Do đó S_cầu = 4πR² = 4π. $\frac{31a^{2}}{12}$ = $\frac{31\pi a^{2}}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.