Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 6z + 5 = 0, (P): 2x + 2y – z + 16 = 0. Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn MN. Xác định vị trí của M, N tương ứng.

Câu hỏi số 10439:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là (S): x² + y² + z² – 4x + 2y – 6z + 5 = 0, (P): 2x + 2y – z + 16 = 0. Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn MN. Xác định vị trí của M, N tương ứng.

A. minMN = 4.

B. minMN = 2.

C. minMN = 1.

D. minMN = 3.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:10439

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) tâm I(2;-1;3) và bán kính R = 3

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): d = d(I,(P)) = $\frac{|2.2+2.(-1)-3+16|}{3}$ = 5 =>d > R

Do đó (P) và (S) không có điểm chung.

Do vậy minMN = d – R = 5 – 3 = 2

Trong trường hợp này, M ở vị trí M₀ và N ở vị trí N₀ . Dễ thấy N₀ là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và M₀ là giao điểm của đoạn thẳng IN₀ với mặt cầu (S).

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với (P), thì N₀ là giao điểm của ∆ và (P).

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{n_{p}}$ = (2;2;-1) và qua I nên có phương trình là $\left\{\begin{matrix}x=2+2t\\y=-1+2t\\z=3-t\end{matrix}\right.$ (t∈R)

Tọa độ của N₀ ứng với t nghiệm đúng phương trình: 2(2 + 2t) + 2(-1 + 2t) – (3 – t) + 16 = 0⇔ 9t + 15 = 0⇔t = - $\frac{15}{9}$ = - $\frac{5}{3}$

Suy ra N₀ (- $\frac{4}{3}$ ; - $\frac{13}{3}$ ; $\frac{14}{3}$ )

Ta có $\overrightarrow{IM_{0}}$ = $\frac{3}{5}$ $\overrightarrow{IN_{0}}$ =>M₀(0; -3;4)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.