Cho a,b,c là những số dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh bất đẳng thức + + ≥ + +

Câu hỏi số 10440:

Cho a,b,c là những số dương thỏa mãn a² + b² + c² = 3. Chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{a+b}$ + $\frac{1}{b+c}$ + $\frac{1}{c+a}$ ≥ $\frac{4}{a^{2}+7}$ + $\frac{4}{b^{2}+7}$ + $\frac{4}{c^{2}+7}$

A. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =-1.

B. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = -c =1.

C. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1.

D. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = -b = c =1.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:10440

Giải chi tiết

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ ≥ $\frac{4}{x+y}$ (x > 0, y > 0)

Ta có

$\frac{1}{a+b}$ + $\frac{1}{b+c}$ ≥ $\frac{4}{a+2b+c}$ ; $\frac{1}{b+c}$ + $\frac{1}{c+a}$ ≥ $\frac{4}{a+b+2c}$ ;

$\frac{1}{c+a}$ + $\frac{1}{a+b}$ ≥ $\frac{4}{2a+b+c}$

Ta lại có:

$\frac{1}{2a+b+c}$ ≥ $\frac{2}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}+4}$ = $\frac{2}{a^{2}+7}$ ⇔2a² + b² + c² + 4 – 4a – 2b – 2c ≥ 0 ⇔ 2(a – 1)² + (b – 1)² + (c – 1)² ≥ 0

Tương tự: $\frac{1}{2b+c+a}$ ≥ $\frac{2}{b^{2}+7}$ ; $\frac{1}{2c+a+b}$ ≥ $\frac{2}{c^{2}+7}$

Từ đó suy ra : $\frac{1}{a+b}$ + $\frac{1}{b+c}$ + $\frac{1}{c+a}$ ≥ $\frac{4}{a^{2}+7}$ + $\frac{4}{b^{2}+7}$ + $\frac{4}{c^{2}+7}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.