Cho các số thực x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x3 + y3 + 3.()

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 104495:

Cho các số thực x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x³ + y³ + 3.( $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}$ )

A. 54/3

B. 3

C. 94/3

D. 7

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:104495

Giải chi tiết

Đặt t = x + y (t ≥ 2)

=> xy = $\frac{3t}{4}$

Có: (x + y)² ≥ 4xy. ∀x, y

<=> t² ≥ 4. <=> t² – 3t ≥ 0

<=> t ≤ 0 hoặc t ≥ 3 <=> t ≥ 3

Do x,y ≥ 1 <=> (x – 1)(y – 1) ≥ 0

<=> xy - (x + y) + 1 ≥ 0

<=> $\frac{3t}{4}$ - t + 1 ≥ 0

<=> t ≤ 4

=> t ∈ [3; 4]

=> P = $(x+y)^{3}-3xy(x+y)+3.[\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{xy}-\frac{2}{xy}]$

= $(x+y)^{3}-3xy(x+y)+3.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^{2}-\frac{6}{xy}$

= $(x+y)^{3}-3xy(x+y)+3.(\frac{x+y}{xy})^{2}-\frac{6}{xy}$

= $t^{3}-3.\frac{3t}{4}+3.(\frac{t}{\frac{3t}{4}})^{2}-\frac{6}{\frac{3t}{4}}$

= $t^{3}-\frac{9}{4}t^{2}-\frac{8}{t}+\frac{16}{3}=f(t)$ với t ∈ [3; 4]

Có f '(t) = $3t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{8}{t^{2}}$ > 0 ∀ t ∈ [3; 4]

Bảng biến thiên

=> Max f(t) = 94/4 khi t = 4

=> max P = 94/3 khi x = 1 và y = 3

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.