Cho điểm M(4, 1), hai điểm A(a, 0), B(0, b) với a,b >0 sao cho A, B, M thẳng hàng. Xác định tọa độ của A, B sao cho: a. Diện tích nhỏ nhất. b. OA + OB nhỏ nhất. c. nhỏ nhất.

Trang chủ

Toán 10

Vec tơ

Câu hỏi số 106130:

Thông hiểu

Cho điểm M(4, 1), hai điểm A(a, 0), B(0, b) với a,b >0 sao cho A, B, M thẳng hàng. Xác định tọa độ của A, B sao cho:

a. Diện tích igtriangleup OAB nhỏ nhất.

b. OA + OB nhỏ nhất.

c. $frac{1}{OA^{2}} + frac{1}{OB^{2}}$ nhỏ nhất.

A. A(8, 0); B (0, 2).

A(6, 0); B(0, 3).

A( $frac{17}{4}$ , 0); B(0, 17).

B. A(-8, 0); B (0, 2).

A(6, 0); B(3, 0).

A( $frac{17}{4}$ , 0); B(0, 17).

C. A(8, 0); B (0, 2).

A(6, 0); B(0, 3).

A( $frac{17}{4}$ , 0); B(17, 0).

D. A(8, 0); B (0, 2).

A(0, 6); B(0, 3).

A( $frac{17}{4}$ , 0); B(0, 17).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:106130

Giải chi tiết

Vì A, B, M thẳng hàng $\Leftrightarrow \underset{AM}{\rightarrow} // \underset{AB}{\rightarrow} \Leftrightarrow \frac{4-a}{-a} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1$ (1)

a. Ta có, diện tích $\bigtriangleup OAB$ được cho bởi: $S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{ab}{2}$

Từ (1) suy ra: $1 = \frac{4}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{4}{a}.\frac{1}{b}} = \frac{4}{\sqrt{ab}} \Leftrightarrow ab\geq 16 \Leftrightarrow S\geq 8$

Vậy, ta được $S_{Min} = 8$ , đạt được khi: $\frac{4}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=8 & \\ b=2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A(8, 0) & \\ B(0, 2) & \end{matrix}\right.$

b. Từ (1), ta được: $a = \frac{4b}{b-1} \Rightarrow$ điều kiện b>1

Khi đó: $OA + OB = \frac{4b}{b-1} + b = \frac{4}{b-1} + b + 4$ = $\frac{4}{b-1} + b - 1 + 5 \geq 2\sqrt{\frac{4}{b-1}.(b-1)} + 5 = 9$

Vậy, ta được $(OA+OB)_{Min} = 9$ , đạt được khi:

$\frac{4}{b-1} = b-1=2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=6 & \\ b=3 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A(6, 0) & \\ B(0,3) & \end{matrix}\right.$

c. Ta có: $\frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ .

Nhận xét rằng:

Bunhiakopxki

$(4^{2} + 1^{2})(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) \geq (\frac{4}{a} + \frac{1}{b})^{2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}\geq \frac{1}{17}$

Vậy, ta được $(\frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}})_{Min} = \frac{1}{17}$ , đạt được khi:

$\left\{\begin{matrix} \frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1& \\ 4a = b & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a= \frac{17}{4} & \\ b=17 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A(\frac{17}{4}, 0) & \\ B (0, 17)& \end{matrix}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10