Cho điểm M(4, 1), hai điểm A(a, 0), B(0, b) với a,b >0 sao cho A, B, M thẳng hàng. Xác định tọa độ của A, B sao cho: a. Diện tích nhỏ nhất. b. OA + OB nhỏ nhất. c. nhỏ nhất.

Trang chủ

Toán 10

Vec tơ

Câu hỏi số 106130:

Thông hiểu

Cho điểm M(4, 1), hai điểm A(a, 0), B(0, b) với a,b >0 sao cho A, B, M thẳng hàng. Xác định tọa độ của A, B sao cho:

a. Diện tích igtriangleup OAB nhỏ nhất.

b. OA + OB nhỏ nhất.

c. $frac{1}{OA^{2}} + frac{1}{OB^{2}}$ nhỏ nhất.

A. A(8, 0); B (0, 2).

A(6, 0); B(0, 3).

A( $frac{17}{4}$ , 0); B(0, 17).

B. A(-8, 0); B (0, 2).

A(6, 0); B(3, 0).

A( $frac{17}{4}$ , 0); B(0, 17).

C. A(8, 0); B (0, 2).

A(6, 0); B(0, 3).

A( $frac{17}{4}$ , 0); B(17, 0).

D. A(8, 0); B (0, 2).

A(0, 6); B(0, 3).

A( $frac{17}{4}$ , 0); B(0, 17).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:106130

Giải chi tiết

Vì A, B, M thẳng hàng $\Leftrightarrow \underset{AM}{\rightarrow} // \underset{AB}{\rightarrow} \Leftrightarrow \frac{4-a}{-a} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1$ (1)

a. Ta có, diện tích $\bigtriangleup OAB$ được cho bởi: $S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{ab}{2}$

Từ (1) suy ra: $1 = \frac{4}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{4}{a}.\frac{1}{b}} = \frac{4}{\sqrt{ab}} \Leftrightarrow ab\geq 16 \Leftrightarrow S\geq 8$

Vậy, ta được $S_{Min} = 8$ , đạt được khi: $\frac{4}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=8 & \\ b=2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A(8, 0) & \\ B(0, 2) & \end{matrix}\right.$

b. Từ (1), ta được: $a = \frac{4b}{b-1} \Rightarrow$ điều kiện b>1

Khi đó: $OA + OB = \frac{4b}{b-1} + b = \frac{4}{b-1} + b + 4$ = $\frac{4}{b-1} + b - 1 + 5 \geq 2\sqrt{\frac{4}{b-1}.(b-1)} + 5 = 9$

Vậy, ta được $(OA+OB)_{Min} = 9$ , đạt được khi:

$\frac{4}{b-1} = b-1=2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=6 & \\ b=3 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A(6, 0) & \\ B(0,3) & \end{matrix}\right.$

c. Ta có: $\frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ .

Nhận xét rằng:

Bunhiakopxki

$(4^{2} + 1^{2})(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) \geq (\frac{4}{a} + \frac{1}{b})^{2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}\geq \frac{1}{17}$

Vậy, ta được $(\frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}})_{Min} = \frac{1}{17}$ , đạt được khi:

$\left\{\begin{matrix} \frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1& \\ 4a = b & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a= \frac{17}{4} & \\ b=17 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A(\frac{17}{4}, 0) & \\ B (0, 17)& \end{matrix}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.