Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 1 – 2i| = 2. Tìm số phức có modun nhỏ nhất?

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Số phức

Câu hỏi số 11535:

A. z = (1 + $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ) + (2 + $\frac{4}{\sqrt{5}}$ )i.

B. z = (1 - $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ) + (2 - $\frac{4}{\sqrt{5}}$ )i.

C. z = (1 + $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ) + (2 - $\frac{4}{\sqrt{5}}$ )i.

D. z = (1 - $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ) + (2 + $\frac{4}{\sqrt{5}}$ )i.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:11535

Giải chi tiết

Đặt z = x + yi (x, y ∈R)

Ta có | x + yi – 1 – 2i| = 2

⇔|(x -1) + (y – 2)i| = 2

⇔(x – 1)² + (y – 2)² = 4

⇔( $\frac{x-1}{2}$ )² + ( $\frac{y-2}{2}$ )² = 1

Đặt $\left\{\begin{matrix}\frac{x-1}{2}=sint\\\frac{y-2}{2}=cost\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}x=1+2sint\\y=2+2cost\end{matrix}\right.$

=>|z| = $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ = $\sqrt{(1+2sint)^{2}+(2+2cost)^{2}}$

= $\sqrt{9+4(sint+2cost)}$

Theo BĐT BunhiE ta có (1.sint + 2.cost)² ≤ (1² + 2²)(sin²z + cos²t) = 5

⇔-√5 ≤ sint + 2cost ≤ √5

=> $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ ≤ |z| ≤ $\sqrt{9+4\sqrt{5}}$

Vậy |z|_min = $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ khi sint + 2cost = -√5 ⇔sint = - $\frac{1}{\sqrt{5}}$ , cost = - $\frac{2}{\sqrt{5}}$

⇔x = 1 - $\frac{2}{\sqrt{5}}$ , y = 2 - $\frac{4}{\sqrt{5}}$ =>z = (1 - $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ) + (2 - $\frac{4}{\sqrt{5}}$ )i.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.