Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC, H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a√3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

Câu hỏi số 13001:

A. a.V_S.CDNM = $\frac{7a^{3}\sqrt{3}}{24}$ ; b.d(DM,HC) = $\frac{2a\sqrt{57}}{19}$ .

B. a.V_S.CDNM = $\frac{5a^{3}\sqrt{3}}{24}$ ; b.d(DM,HC) = $\frac{2a\sqrt{57}}{19}$ .

C. a.V_S.CDNM = $\frac{5a^{3}\sqrt{3}}{24}$ ; b.d(DM,HC) = $\frac{a\sqrt{57}}{19}$ .

D. a.V_S.CDNM = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$ ; b.d(DM,HC) = $\frac{2a\sqrt{57}}{19}$ .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13001

Giải chi tiết

Tính thể tích khối chóp S.CDNM: Ta có: V_S.CDNM = $\frac{1}{3}$ S_CDNM.SH. (1)

Trong đó SH = a√3 và : S_CDNM = S_ABCD – (S_{∆AMN +} S_∆BCM ) = AB² – ( $\frac{1}{2}$ AM.AN + $\frac{1}{2}$ BC.BM) = a² – ( $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{2}$ a. $\frac{1}{2}$ a + $\frac{1}{2}$ a. $\frac{1}{2}$ a) = $\frac{5a^{2}}{8}$ (2)

Từ đó, bằng cách thay (2) vào (1) ta được : V_S.CDNM = $\frac{1}{3}$ . $\frac{5a^{2}}{8}$ .a√3 = $\frac{5a^{3}\sqrt{3}}{24}$ .

b.Tính khoảng cách giữa DM và SC: Trong mặt phẳng (SHC) hạ HK⊥SC, ta có nhận xét rằng :

∆ADM = ∆DCN => $\widehat{ ADM}$ = $\widehat{ DCN}$ =>DM⊥CN =>DM⊥(SHC)

=>DM⊥HK =>HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC.

Trong ∆SHC, ta có : $\frac{1}{HK^{2}}$ = $\frac{1}{HS^{2}}$ + $\frac{1}{HC^{2}}$ ⇔HK = $\frac{HS.HC}{\sqrt{HS^{2}+HC^{2}}}$ (3)

Trong ∆CND, ta có : CD² = CH.CN

⇔HC = $\frac{CD^{2}}{\sqrt{CD^{2}+DN^{2}}}$ = $\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}}$ = $\frac{2a}{\sqrt{5}}$ (4)

Từ đó, bằng cách thay (4) vào (3) ta được :

HK = $\frac{a\sqrt{3}.\frac{2a}{\sqrt{5}}}{\sqrt{(a\sqrt{3})^{2}+(\frac{2a}{\sqrt{5}})^{2}}}$ = $\frac{2a\sqrt{57}}{19}$ .

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.