Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Câu hỏi số 13002:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60⁰. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

A. a. V_{ABC.A’B’C’} = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$ ; mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = $\frac{7a}{12}$ .

B. a. V_{ABC.A’B’C’} = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$ ; mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = $\frac{5a}{12}$ .

C. a. V_{ABC.A’B’C’} = $\frac{3a^{3}\sqrt{3}}{8}$ ; mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = $\frac{7a}{12}$ .

D. a. V_{ABC.A’B’C’} = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$ ; mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = $\frac{a}{12}$ .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13002

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của BC, theo gải thiết ta có:

(A’BC) ∩(ABC) = BC và A’H⊥BC và AH⊥BC

=>g((A’BC),(ABC)) = $\widehat{A'HC}$ = 60⁰

a.Tính thể tích khối lăng trụ : Ta có: V_{ABC.A’B’C’} = S_∆ABC.AA’ (1)

trong đó : S_∆ABC = $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ (2)

AA’ = AH.tan $\widehat{A'HA}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .tan60⁰ = $\frac{3a}{2}$ (3)

Thay (2), (3) vào (1), ta được: V_{ABC.A’B’C’} = $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ . $\frac{3a}{2}$ = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$ .3

b.Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC: Ta có:

+Gọi I là hình chiếu vuông góc của G trên (ABC), suy ra I là trọng tâm ∆ABC nên GI là trục đường tròn của ∆ABC.

+Gọi M là trung điểm của GA và trong mặt phẳng (AGH) dựng đường trung trực Mx của GA. Khi đó , Mx cắt GI tại J thì J là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC.

Nhận xét rằng: GM.GA = GJ.GI

⇔ GJ = $\frac{GM.GA}{GI}$ = $\frac{GA^{2}}{2GI}$ = $\frac{GI^{2}+AI^{2}}{2GI}$ = $\frac{7a}{12}$

Vậy, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = $\frac{7a}{12}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.