Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán
Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 14208:

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. 

P =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}} - \frac{2}{(a+1))(b+1)(c+1)}

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:14208
Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:

a2 + b2 + c2 + 1 ≥ \frac{1}{2}(a + b)2 + \frac{1}{2}(c + 1)2  ≥ \frac{1}{4}(a + b + c + 1)2

(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≤ (\frac{a+b+c+3}{3})^{2}

Suy ra P ≤ \frac{2}{a+b+c+1} - \frac{54}{(a+b+c+3)^{3}}

Đặt t = a + b + c , t > 1. Khi đó ta có P ≤ \frac{2}{t} - \frac{54}{(t+2)^{3}}

Xét hàm số f(t) = \frac{2}{t} - \frac{54}{(t+2)^{3}} trên (1;+∞) ta có:

f'(t) = -\frac{2}{t^{2}} + \frac{54}{(t+2)^{3}} = 0 <=> 9t = (t + 2)2 <=> \begin{bmatrix} t=1\\t=4 \end{matrix}

f'(t) > 0 <=> 1 < t < 4

Suy ra bảng biến thiên:

Dựa vào BBT suy ra P ≤ \frac{1}{4}. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 4

<=> a = b = c = 1

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn