Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 2AC=BC=2a. Mặt phẳng (SAC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc . Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và SB.

Câu hỏi số 14557:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 2AC=BC=2a. Mặt phẳng (SAC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc $60^{\circ}$ . Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và SB.

A. $V_{S.ABC}=\frac{a^{3}3\sqrt{3}}{8}$ và d(AH;SB)= $\frac{3a}{2}$

B. $V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$ và d(AH;SB)= $\frac{3a}{4}$

C. $V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$ và d(AH;SB)= $\frac{3a}{4}$

D. $V_{S.ABC}=\frac{a^{3}3\sqrt{3}}{4}$ và d(AH;SB)= $\frac{3a}{4}$

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:14557

Giải chi tiết

(hs tự vẽ hình)

$\bigtriangleup ABC$ vuống tại A có BC=2a;AC=a; $\widehat{B}=30^{\circ};\widehat{C}=60^{\circ}$

Gọi N là trung điểm của AC. Vì:

AC $\perp$ AB=>AC $\perp$ HN ;AC $\perp$ SH=>AC $\perp$ (SHN)

=> $\widehat{SNH}=60^{\circ}$

Trong tam giác SNH =>HN= $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ ; SH= $\frac{3a}{2}$

Mặt khác: $S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

=> $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}S_{\bigtriangleup ABC}.SH=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$ (đvtt)

Kẻ a//AH (a đi qua B)

=>HA//(SB;a)

Gọi M là hình chiếu của H lên a và K là hình chiếu của H trên SM khi đó HK=d(HA;SB)

Tam giác ACH đều nên $\widehat{HBM}=\widehat{AHC}=60^{\circ}$ =>HM=HBsin $60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Trong tam giác SHM ta có: $\frac{1}{HK^{2}}=\frac{1}{HM^{2}}+\frac{1}{HS^{2}}<=>HK=\frac{3a}{4}$

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.