Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=3(a2b2+b2c2+c2a2)+3(ab+bc+ca)+2

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 14497:

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M=3(a²b²+b²c²+c²a²)+3(ab+bc+ca)+2 $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

A. M_min= $\sqrt{3}$

B. M_min=0

C. M_min=1

D. M_min=2

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:14497

Giải chi tiết

Đặt t=ab+bc+ca (t≥0), ta có:

a²+b²+c² ≥ ab+b+ca

=>1=(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) ≥3(ab+bc+ca)=3t

=>a²+b²+c²=1-2t và t≤ $\frac{1}{3}$

Ngoài ra theo cô si ta có:

t²=(ab+bc+ca)² ≤ 3(a²b²+b²c²+c²a²) => M ≥ t²+3t+2 $\sqrt{1-2t}$

Xét hàm số f(t)=t²+3t+2 $\sqrt{1-2t}$ trên tập D=[0; $\frac{1}{3}$ ], ta có:

f'(t)=2t+3- $\frac{2}{\sqrt{1-2t}}$

f''(t)=2- $\frac{2}{\sqrt{(1-2t)^{3}}}$ ≤0, $\forall$ t ∈D => f'(t) là hàm nghịch biến trên D

=> f'(t)≥f( $\frac{1}{3}$ )= $\frac{11}{3}$ -2 $\sqrt{3}$ >0 => f(t) là hàm đồng biến trên D

=> f(t)≥f(0)=2

Vậy ta được M_min=2 đạt được khi t=0, tức là a,b,c không âm thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} a+b+c=1\\ab=bc=ca \\ab+bc+ca=0 \end{matrix}\right.$

<=> a,b,c là một trong các bộ số (0;0;1); (0;1;0); (1;0;0)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.