Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn: x(x+y+z)=3yz, Ta có: (x+y)3+(x+z)3+3(x+y)(x+z)(y+z) ≤5(y+z)3. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 14852:

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn:

x(x+y+z)=3yz,

Ta có:

(x+y)³+(x+z)³+3(x+y)(x+z)(y+z) ≤5(y+z)³.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

A. x=y#z

B. x#y; y#z

C. x=y

D. x=y=z

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:14852

Giải chi tiết

Đặt: $\left\{\begin{matrix} a=x+y\\b=x+z \\c=y+z \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}(a-b+c)\\y=\frac{1}{2}(a+b-c) \\z=\frac{1}{2}(-a+b+c) \end{matrix}\right.$

Khi đó, điều kiện x(x+y+z)=3yz trở thành:

c²=a²+b²-ab (1)

<=> c²=(a+b)²-3ab≥(a+b)²- $\frac{3}{4}$ (a+b)²= $\frac{1}{4}$ (a+b)²

<=> a+b≤ 2c (2)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

a³+b³+3abc ≤5c³ <=>(a+b)(a²+b²-ab)+3abc ≤ 5c³

Từ (1) <=> (a+b)c²+3abc ≤ 5c³ <=>(a+b)c+3ab ≤ 5c². (3)

Từ (2) ta có: (a+b)c ≤ 2c² (4)

Mặt khác: ab≤ $\frac{1}{4}$ (a+b)²≤ $\frac{1}{4}$ (2c)²=c² <=> 3ab ≤3c² (5)

Cộng theo vế (4) ,(5)ta được bất đẳng thức cần chứng minh (3).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix} c^{2}=a^{2}+b^{2}\\a=b=c \end{matrix}\right.$ <=>x=y=z

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.