Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=(4x2+3y)(4y2+3x)+25xy

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 14944:

Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=(4x²+3y)(4y²+3x)+25xy

A. MinA=2 MaxA=12

B. MinA= $\frac{91}{16}$ MaxA= $\frac{25}{2}$

C. MinA= $\frac{191}{4}$ MaxA= $\frac{25}{13}$

D. MinA= $\frac{191}{16}$ MaxA= $\frac{25}{2}$

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:14944

Giải chi tiết

Biến đổi A về dạng:

A=16x²y²+12(x³+y³)+9xy+25xy

=16x²y²+12[(x+y)³-3xy(x+y)]+34xy=16x²y²-2xy+12.

Đặt t=xy, ta có đánh giá:

0 ≤xy≤ $\frac{(x+y)^{2}}{4}$ = $\frac{1}{4}$ =>0≤t ≤ $\frac{1}{4}$

Khi đó A=16t²-2t+12, với t ∈D=[0; $\frac{1}{4}$ ], ta có:

A’=32t-2, A’=0<=> 32t-2=0 <=>t= $\frac{1}{16}$

Khi đó:

+ MinA=Min{A(0),A( $\frac{1}{4}$ ),A( $\frac{1}{16}$ )}=A( $\frac{1}{16}$ )= $\frac{191}{16}$ ,

Đạt được khi: t= $\frac{1}{16}$ => $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\xy=\frac{1}{16} \end{matrix}\right.$

Tức là x,y, là nghiệm của phương trình:

u²-u+ $\frac{1}{16}$ =0 <=> u= $\frac{2\pm \sqrt{3}}{4}$

=>(x;y)=( $\frac{2+\sqrt{3}}{4}$ ; $\frac{2-\sqrt{3}}{4}$ ) hoặc (x;y)=( $\frac{2-\sqrt{3}}{4}$ ; $\frac{2+\sqrt{3}}{4}$ )

+ MaxA=Max{A(0),( $\frac{1}{4}$ ),( $\frac{1}{16}$ )}=A( $\frac{1}{4}$ )= $\frac{25}{2}$ , đạt được khi:

t= $\frac{1}{4}$ => $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\xy=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

tức x,y là nghiệm của phương trình:

u²-u+ $\frac{1}{4}$ =0 <=>u= $\frac{1}{2}$ => (x;y)=( $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{2}$ )

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.