Giải phương trình: cotx – tanx = sinx + cosx

Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình lượng giác

Câu hỏi số 15658:

A. $\begin{bmatrix}x=\frac{\pi }{4}+arcsin(\frac{\sqrt{2}-2}{2})+k2\pi \\x=\frac{5\pi }{4}-arcsin(\frac{\sqrt{2}-2}{2})+k2\pi \end{bmatrix}$ (k ∈ Z) .

B. $\begin{bmatrix}x=\frac{\pi }{4}+arcsin(\frac{\sqrt{2}-2}{2})+k2\pi \\x=\frac{5\pi }{6}-arcsin(\frac{\sqrt{2}-2}{2})+k2\pi \end{bmatrix}$ (k ∈ Z) .

C. $\begin{bmatrix}x=\frac{\pi }{3}+arcsin(\frac{\sqrt{2}-2}{2})+k2\pi \\x=\frac{5\pi }{4}-arcsin(\frac{\sqrt{2}-2}{2})+k2\pi \end{bmatrix}$ (k ∈ Z) .

D. $\begin{bmatrix}x=-\frac{\pi }{4}+arcsin(\frac{\sqrt{2}-2}{2})+k2\pi \\x=\frac{5\pi }{4}-arcsin(\frac{\sqrt{2}-2}{2})+k2\pi \end{bmatrix}$ (k ∈ Z) .

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:15658

Giải chi tiết

Đk $\left\{\begin{matrix}sinx\neq 0\\cosx\neq 0\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}x\neq k\pi \\x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi \end{matrix}\right.$ (k ∈ Z)

PT ⇔ $\frac{cosx}{sinx}$ - $\frac{sinx}{cosx}$ = sinx + cosx

⇔ $\frac{cos^{2}x-sin^{2}x}{sinxcosx}$ = sinx + cosx

⇔ (cosx – sinx)( cosx+ sinx) = sinxcosx(sinx + cosx)

⇔ (cosx + sinx)[(cosx – sinx) – sinxcosx] = 0

⇔ $\begin{bmatrix}sinx+cosx=0(1)\\cosx-sinx-sinxcosx=0(2)\end{bmatrix}$

Giải (1) ⇔ √2sin(x + $\frac{\pi }{4}$ ) = 0

⇔sin(x + $\frac{\pi }{4}$ ) = 0

⇔ x + $\frac{\pi }{4}$ = kπ ⇔x = - $\frac{\pi }{4}$ + kπ (k ∈ Z)

Giải (2) ⇔ (sinx – cosx) + sinxcosx = 0

Đặt t = sinx – cosx đk t ∈ [-√2, √2]

=>t² = (sinx – cosx)²

⇔ t² = sin²x – 2sinxcosx + cos²x = 1 – 2sinxcosx

=> sinxcosx = $\frac{1-t^{2}}{2}$

PT ⇔ t + $\frac{1-t^{2}}{2}$ = 0 ⇔ - t² + 2t + 1 = 0

⇔ $\begin{bmatrix}t=1-\sqrt{2}\\t=1+\sqrt{2}(l)\end{bmatrix}$

Với t = 1- √2 => sinx – cosx = 1 - √2

⇔ √2sin(x - $\frac{\pi }{4}$ ) = 1 - √2

⇔ sin(x - $\frac{\pi }{4}$ ) = $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

⇔ sin(x - $\frac{\pi }{4}$ ) = $\frac{\sqrt{2}-2}{2}$

⇔ $\begin{bmatrix}x-\frac{\pi }{4}=arcsin(\frac{\sqrt{2}-2}{2})+k2\pi \\x-\frac{\pi }{4}=\pi -arcsin(\frac{\sqrt{2}-2}{2})+k2\pi \end{bmatrix}$

⇔ $\begin{bmatrix}x=\frac{\pi }{4}+arcsin(\frac{\sqrt{2}-2}{2})+k2\pi \\x=\frac{5\pi }{4}-arcsin(\frac{\sqrt{2}-2}{2})+k2\pi \end{bmatrix}$ (k ∈ Z)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.