Tính tích phân I=x.ln2x.dx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 16332:

Tính tích phân I= $\int_{1}^{e}$ x.ln²x.dx

A. I= $\frac{e^{2}-1}{4}$

B. I= $\frac{e^{2}-1}{3}$

C. I= $\frac{2e^{2}-1}{4}$ +e

D. I= $\frac{e^{2}}{4}$ +3

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:16332

Giải chi tiết

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=ln^{2}x\\dv=xdx \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} du=(ln^{2}x)'dx=2lnx.\frac{1}{x}dx\\v=\int xdx =\frac{x^{2}}{2} \end{matrix}\right.$

=> I= $\frac{x^{2}}{2}$ .ln²x $|_{1}^{e}$ - $\int_{1}^{e}$ $\frac{x^{2}}{2}$ .2. $\frac{1}{x}$ .lnxdx

=( $\frac{e^{2}}{2}$ .ln²e- $\frac{1^{2}}{2}$ .ln²1)- $\int_{1}^{e}$ x.lnxdx

= $\frac{e^{2}}{2}$ -I'

Tính I'= $\int_{1}^{e}$ x.lnxdx

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=lnx\\dv=xdx \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} du=(lnx)'dx=\frac{1}{x}dx\\v=\int xdx=\frac{x^{2}}{2} \end{matrix}\right.$

=> I'= $\frac{x^{2}}{2}$ lnx $|_{1}^{e}$ - $\int_{1}^{e}$ $\frac{x^{2}}{2}$ . $\frac{1}{x}$ dx

=( $\frac{e^{2}}{2}$ .lne - $\frac{1}{2}$ .ln1) - $\frac{1}{2}$ $\int_{1}^{e}$ xdx

= $\frac{e^{2}}{2}$ - $\frac{1}{2}$ . $\frac{x^{2}}{2}$ $|_{1}^{e}$

= $\frac{e^{2}}{2}$ - $\frac{1}{4}$ .(e²-1²)= $\frac{e^{2}+1}{4}$

Vậy I= $\frac{e^{2}}{2}$ - $\frac{e^{2}+1}{4}$ = $\frac{e^{2}-1}{4}$

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.