Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Câu hỏi số 16669:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60⁰. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

A. V_S.ABC = $\frac{7a^{3}\sqrt{7}}{12}$ ; d(SA, BC) = $\frac{a\sqrt{42}}{8}$ .

B. V_S.ABC = $\frac{a^{3}\sqrt{7}}{12}$ ; d(SA, BC) = $\frac{a\sqrt{42}}{8}$ .

C. V_S.ABC = $\frac{a^{3}\sqrt{7}}{12}$ ; d(SA, BC) = $\frac{3a\sqrt{42}}{8}$ .

D. V_S.ABC = $\frac{5a^{3}\sqrt{7}}{12}$ ; d(SA, BC) = $\frac{a\sqrt{42}}{8}$ .

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:16669

Giải chi tiết

Ta có $\widehat{SCH}$ là góc giữa SC và (ABC), suy ra $\widehat{SCH}$ = 60⁰.

Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Ta có: HD = $\frac{a}{6}$ , CD = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ ,

HC = $\sqrt{HD^{2}+CD^{2}}$ = $\frac{a\sqrt{7}}{3}$ , SH = HC.tan60⁰ = $\frac{a\sqrt{21}}{3}$

V_S.ABC = $\frac{1}{3}$ .SH.S_∆ABC = $\frac{1}{3}$ . $\frac{a\sqrt{21}}{3}$ . $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{a^{3}\sqrt{7}}{12}$

Kẻ Ax // BC. Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN. Ta có BC // (SAN) và BA = $\frac{3}{2}$ HA nên d(SA, BC) = d(B, (SAN)) = $\frac{3}{2}$ d(H, (SAN)).

Ta cũng có Ax ⊥ (SHN) nên Ax ⊥ HK.

AH = $\frac{2a}{3}$ , HN = AH.sin60⁰ = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ , HK = $\frac{SH.HN}{\sqrt{SH^{2}+HN^{2}}}$ = $\frac{a\sqrt{42}}{12}$ .

Vậy d(SA, BC) = $\frac{a\sqrt{42}}{8}$ .

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.