Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3|x – y| + 3|y – z| + 3|z

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 16670:

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3^{|x – y|} + 3^{|y – z|} + 3^{|z – x|} - $\sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}$ .

A. Giá trị nhỏ nhất của P bằng 4.

B. Giá trị nhỏ nhất của P bằng - 4.

C. Giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.

D. Giá trị nhỏ nhất của P bằng - 3.

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:16670

Giải chi tiết

Ta chứng minh 3^t ≥ t + 1, ∀ t ≥ 0 (*).

Xét hàm f(t) = 3^t – t – 1, có f’(t) = 3^tln3 – 1 > 0 , ∀ t ≥ 0 và f(0) = 0, suy ra (*) đúng.

Áp dụng bất đẳng thức |a| + |b| ≥ |a + b|,

ta có: (|x – y| + |y – z| + |z – x|)² = |x – y|² + |y – z|² + |z – x|² + |x – y|(|y – z| + |z – x|)+ |y – z|(|z – x| + |x – y|) + |z – x|(|x – y| + |y – z|) ≥ 2(|x – y|² + |y – z|² + |z – x|²).

Do đó |x – y| + | y – z| + |z – x| ≥ $\sqrt{2(|x-y|^{2}+|y-z|^{2}+|z-x|^{2})}$

= $\sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}-2(x+y+z)^{2}}$

Mà x + y+ z = 0, suy ra |x – y| + |y – z| + |z – x| ≥ $\sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}$

Suy ra P = 3^{|x – y|} + 3^{|y – z|} + 3^{|z – x|} - $\sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}$ ≥ 3.

Khi x = y = z = 0 thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.