Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \(y=\dfrac{{{x}^{2}}+5x+{{m}^{2}}+6}{x+3}\) đồng

Câu hỏi số 188772:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \(y=\dfrac{{{x}^{2}}+5x+{{m}^{2}}+6}{x+3}\) đồng biến trên khoảng (1;+∞)

A. 4

B. 5

C. 9

D. 3

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:188772

Phương pháp giải

- Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( a;b \right)\Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right)\).

- Cô lập m.

Giải chi tiết

Có \(y'=\dfrac{\left( 2x+5 \right)\left( x+3 \right)-\left( {{x}^{2}}+5x+{{m}^{2}}+6 \right)}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+9-{{m}^{2}}}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}\)

Hàm số y liên tục trên (1;+∞) \( \Rightarrow \) y đồng biến trên (1;+∞) \(\Leftrightarrow \) \(y' \ge 0\) với \(\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow {m^2} \le {x^2} + 6x + 9\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right).\) (*).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 6x + 9\) liên tục trên [1;+∞) , có \(f'\left( x \right)=2x+6>0\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)\) nên \(f\left( x \right) \ge {\rm{ }}f\left( 1 \right) = 16,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right);\,\,\,{\rm{ }}f\left( x \right) = 16 \Leftrightarrow x = 1\).

Do đó (do m nguyên dương).

Thử lại nếu \(m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow {m^2} \le 16 \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\) \(y>0\,\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\) nên y đồng biến trên (1;+∞).

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.