Tìm m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4m\) nghịch biến trên (-1;

Câu hỏi số 189037:

Vận dụng

Tìm m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4m\) nghịch biến trên (-1; 1).

A. \(m\le -10\)

B. \(m \le 10\)

C. \(m \le 2\)

D. \(m \le - 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:189037

Phương pháp giải

Cách 1: Thay từng giá trị của \(m\) ở các đáp án và khảo sát hàm số để tìm đáp án đúng.

Cách 2: Hàm số nghịch biến trên \((-1; \, \, 1)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0\;\;\forall x \in \left( { - 1;\;1} \right).\)

Giải chi tiết

Cách 1:

Giải: Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x + m + 1\)

Để giải nhanh bài toán này ta nên dùng máy tính để thử từng đáp án.

Thử với \(m = 2\) ta có:\(y' = 3{x^2} + 6x + 3 = 3{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \in R\).

\( \Rightarrow \) với \(m = 2\), hàm số luôn đồng biến \( \Rightarrow \) loại đáp án B, C.

Còn lại đáp án A và D

Thử với \(m = - 5\) ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x - 4\).

Để hàm số nghịch biến trên (-1; 1) thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).

Nhập hàm \(y' = 3{x^2} + 6x - 4\) vào máy tính và thử với giá trị \(x = 0,6\) ta được \(y' = 0,68 > 0\) nên hàm số đồng biến trong (-1;1). \( \Rightarrow \) loại D.

Cách 2:

Ta có

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} + 6x + m + 1 \le 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\ \Leftrightarrow m \le - 3{x^2} - 6x - 1\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\ \Leftrightarrow m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right)\end{array}\)

Ta có \(f'\left( x \right) = - 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)

\(f\left( { - 1} \right) = 2;\,\,f\left( 1 \right) = - 10 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = - 10 \Rightarrow m \le - 10\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.