Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + 5x + {m^2} + 6}}{{x + 3}}\)

Câu hỏi số 189076:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + 5x + {m^2} + 6}}{{x + 3}}\) đồng biến trên khoảng (1;+∞)

A. 4

B. 5

C. 9

D. 3

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:189076

Phương pháp giải

- Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\).

- Cô lập m.

Giải chi tiết

Có \(y' = \dfrac{{\left( {2x + 5} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {{x^2} + 5x + {m^2} + 6} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 6x + 9 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

Hàm số y liên tục trên (1; +∞) nên nếu y đồng biến trên (1;+∞) thì

\(y' \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow {m^2} \le {x^2} + 6x + 9,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\) (*)

Xét hàm số f (x) = x² + 6x + 9 liên tục trên [1;+∞) , có f’(x) = 2x + 6 > 0 ∀ x ∈ [1;+∞) nên f(x) ≥ f(1) = 16, ∀x ∈ [1;+∞); f(x) = 16 ⇔ x = 1

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow {m^2} \le 16 \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\) (do m nguyên dương)

Thử lại nếu m ∈ {1;2;3;4} thì y’ > 0 ∀ x ∈ (1;+∞) nên y đồng biến trên (1;+∞)

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.