Cho hình chóp S.ABC có \(\widehat {ASB} = {90^0};\) \(\widehat {BSC} = {60^0};\) \(\widehat {ASC} = {120^0};\) \(SA

Câu hỏi số 193597:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC có \(\widehat {ASB} = {90^0};\) \(\widehat {BSC} = {60^0};\) \(\widehat {ASC} = {120^0};\) \(SA = SB = SC = a\) .Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là:

A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:193597

Phương pháp giải

+) Sử dụng định lí Cosin trong tam giác tính độ dài các cạnh AB, BC, CA và chứng minh tam giác ABC vuông tại B bằng định lí Py-ta-go đảo.

+) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\)

+) Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng chứa đường cao.

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác tính độ dài các cạnh.

Giải chi tiết

Tam giác SAB vuông cân tại S nên \(AB = SA\sqrt 2 = a\sqrt 2 \)

Tam giác SBC đều nên \(BC = SB = a\)

Áp dụng định lý Côsin trong tam giác SAC ta có:

\(AC = \sqrt {S{A^2} + S{C^2} - 2.SA.SC.cos\widehat {ASC}} = a\sqrt 3 \)

Nhận xét rằng \(A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} + {a^2} = 3{a^2} = A{C^2}\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại B.

Gọi I là trung điểm của AC \( \Rightarrow \) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chóp S.ABC có \(SA = SB = SC\) nên \(SI \bot \left( {ABC} \right)\)

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(BH \bot AC\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BH \bot AC\\BH \bot SI\left( {SI \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = BH\)

Xét tam giác vuông ABC có: \(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{B{A^2}}} + \dfrac{1}{{B{C^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow BH = \dfrac{{\sqrt 6 a}}{3}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.