Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) với \(AB = a,AC = 2a,\widehat {BAC} = {120^0}\) .Cạnh bên \(SA\)

Câu hỏi số 193599:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) với \(AB = a,AC = 2a,\widehat {BAC} = {120^0}\) .Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(E\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BC\). Khoảng cách từ \(E\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là:

A. \(\dfrac{{3a\sqrt 3 }}{{14}}\)

B. \(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{7}\)

C. \(\dfrac{{5a\sqrt 3 }}{7}\)

D. \(\dfrac{{5a\sqrt 3 }}{{14}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:193599

Phương pháp giải

+) Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng chứa đường cao.

+) Dựa vào các công thức tính diện tích tam giac ABC tính AE.

+) Tính EC, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác tính khoảng cách từ E đến (SAC).

Giải chi tiết

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot AC\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}EH \bot AC\\EH \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow EH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow d\left( {E;\left( {SAC} \right)} \right) = EH\end{array}\)

Áp dụng định lý Côsin trong tam giác ABC ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.cos\widehat {BAC}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2} - 2.a.2a.\left( { - \frac{1}{2}} \right)} = a\sqrt 7 \)

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AE.BC = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} \Rightarrow AE = \dfrac{{AB.AC.\sin \widehat {BAC}}}{{BC}} = \dfrac{{a.2a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 7 }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\)

Xét tam giác vuông AEC có: \(EC = \sqrt {A{C^2} - A{E^2}} = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{3}{7}{a^2}} = \dfrac{{5a\sqrt 7 }}{7}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{E{H^2}}} = \dfrac{1}{{E{A^2}}} + \dfrac{1}{{E{C^2}}} = \dfrac{7}{{3{a^2}}} + \dfrac{7}{{25{a^2}}} = \dfrac{{196}}{{75{a^2}}} \Rightarrow EH = \dfrac{{5a\sqrt 3 }}{{14}}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.