Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc \(\widehat {SBC} = {60^0}\). Khoảng cách từ chân đường cao hạ từ S của hình chóp đến mặt phẳng (SBC) là:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.
Trong (SAC) gọi H là trung điểm của AC. Vì \(\Delta SAC\) cân tại S nên \(SH \bot AC\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Gọi D là trung điểm của BC. Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AD \bot BC\)
Trong (ABC) kẻ \(HE//AD \Rightarrow HE \bot BC\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BC \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\BC \bot HE\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SHE} \right)\)
Trong (SHE) kẻ \(HK \bot SE\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}HK \bot SE\\HK \bot BC\left( {BC \bot \left( {SHE} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = HK\)
Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}AH = HC\\HE//AD\end{array} \right. \Rightarrow \)HE là đường trung bình của \(\Delta ACD \Rightarrow HE = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\) và E là trung điểm của CD \( \Rightarrow BE = \dfrac{3}{4}BC = \dfrac{{3a}}{4}\)
Vì \(BC \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow BC \bot SE \Rightarrow \Delta SEB\) vuông tại E \( \Rightarrow SE = BE.\tan 60 = \dfrac{{3a}}{4}.\sqrt 3 = \dfrac{{3\sqrt 3 a}}{4}.\)
Có: \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot HE \Rightarrow \Delta SHE\)vuông tại H
\(\begin{array}{l} \Rightarrow SH = \sqrt {S{E^2} - H{E^2}} = \sqrt {\dfrac{{27{a^2}}}{{16}} - \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}a\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{2}{{3{a^2}}} + \dfrac{{16}}{{3{a^2}}} = \dfrac{6}{{{a^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{a}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
