Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\)có đáy ABC là tam giác vuông với \(AB = AC = a\) , góc giữa
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\)có đáy ABC là tam giác vuông với \(AB = AC = a\) , góc giữa \(BC'\) và mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) bằng \({30^0}\). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.
ABC là tam giác vuông với \(AB = AC = a\) nên tam giác ABC vuông cân tại A
\( \Rightarrow \Delta A'AC = \Delta A'AB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow A'C = A'B\)(hai cạnh tương ứng).
Gọi D là trung điểm của BC \( \Rightarrow AD \bot BC\).
Có: \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AD\\BC \bot AA'\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {AA'D} \right)\)
Trong \(\left( {AA'D} \right)\) kẻ \(AE \bot A'D\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE \bot A'D\\AE \bot BC(BC \bot \left( {AA'D} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot \left( {A'BC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right) = AE\)
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot AA'\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {BC';\left( {ACC'A'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {BC';AC'} \right)} = \widehat {BC'A} = {30^0}\)(Vì \(\widehat {BC'A} < {90^0}\))
\(AB \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow AB \bot AC' \Rightarrow \Delta ABC'\) vuông tại \( \Rightarrow AC' = AB.\cot 30 = a\sqrt 3 \)
Xét tam giác vuông AA’C’ có: \(AA' = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Xét tam giác vuông cân ABC có: \(AD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
\(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AD \Rightarrow \Delta AA'D\) vuông tại A
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{E^2}}} = \dfrac{1}{{AA{'^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} + \dfrac{2}{{{a^2}}} = \dfrac{5}{{2{a^2}}} \Rightarrow AE = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
