Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; \(SA = SB = SC = SD = a\sqrt 2 \) . Gọi

Câu hỏi số 193760:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; \(SA = SB = SC = SD = a\sqrt 2 \) . Gọi \(A',C'\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và SC. Khoảng cách từ S tới mặt phẳng \(\left( {A'BC'} \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{{14}}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{{14}}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{7}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:193760

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết

Vì chóp S.ABCD đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi E là giao điểm của SO và A’C’.

Ta có: \(A'C'\) là đường trung bình của \(\Delta SAC \Rightarrow A'C'//AC\)

Xét tam giác \(SAO\) có: \(\left. \begin{array}{l}SA' = A'A\\A'E//AO\end{array} \right\} \Rightarrow A'E\)là đường trung bình của tam giác \(SAO\) \( \Rightarrow E\) là trung điểm của SO

\( \Rightarrow d\left( {S;\left( {A'BC'} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {A'BC'} \right)} \right).\)

Tam giác SAC cân tại S\( \Rightarrow SO \bot AC \Rightarrow A'C' \bot SO\)

Xét tam giác SA’C’ là tam giác cân tại S có SE là đường cao \( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(A'C'\).

Có \(\Delta A'AB = \Delta C'CB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow A'B = C'B \Rightarrow \Delta BA'C'\) cân tại B

\( \Rightarrow \) Trung tuyến BE đồng thời là đường cao \( \Rightarrow BE \bot A'C'\)

\(\left. \begin{array}{l}A'C' \bot SO\\A'C' \bot BE\end{array} \right\} \Rightarrow A'C' \bot \left( {SOB} \right)\)

Trong (SOB) kẻ \(OH \bot BE\)

Có: \(\left. \begin{array}{l}OH \bot BE\\OH \bot A'C'\left( {A'C' \bot \left( {SOB} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot \left( {A'BC'} \right) \Rightarrow d\left( {S;\left( {A'BC'} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {A'BC'} \right)} \right) = OH\).

Xét hình vuông ABCD có \(AC = BD = a\sqrt 2 \Rightarrow OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OB \Rightarrow \Delta SOB\) vuông tại O\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {2{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow OE = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\)

Xét tam giác vuông OBE có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{8}{{3{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {14} }} = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.