Cho hình chóp S.ABC có \(SA = SB = SC = a,\widehat {ASB} = {90^0};\) \(\widehat {BSC} = {120^0},\widehat {ASC} =

Câu hỏi số 195648:

Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABC có \(SA = SB = SC = a,\widehat {ASB} = {90^0};\) \(\widehat {BSC} = {120^0},\widehat {ASC} = {90^0}\). Thể tích khối chóp S.ABC là:

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:195648

Giải chi tiết

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì chóp S.ABC có \(SA = SB = SC\) nên \(SO \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác SAB; SAC vuông cân tại S nên \(AB = AC = a\sqrt 2 \Rightarrow \Delta ABC\)cân tại A.

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác SBC có:

\(BC = \sqrt {S{B^2} + S{C^2} - 2.SB.SC\cos \widehat {BSC}} \)\( = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2{a^2}\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)} = a\sqrt 3 \)

Gọi D là trung điểm của BC\( \Rightarrow AD \bot BC\)(trung tuyến trong tam giác cân đồng thời là đường cao)

Ta có: \(BD = CD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow AD = \sqrt {A{B^2} - B{D^2}} = \sqrt {2{a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AD.BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}a\sqrt 3 = \dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}\)

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Rightarrow R = \dfrac{{abc}}{{4{S_{\Delta ABC}}}}\)\( = \dfrac{{a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .a\sqrt 3 }}{{4\dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}}} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5} = OA\)

\(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot OA \Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại O\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{4{a^2}}}{5}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.\dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.