Trên các cạnh của một hình chữ nhật đặt lần lượt 4 điểm tùy ý. Bốn điểm này tạo thành một tứ giác có độ dài các cạnh lần lượt là x, y, z, t. Chứng minh rẳng 25 ≤ x2 + y2 + z2 + t2 ≤ 50. Biết rằng hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là 4 và 3.

Hàm số y=ax2 (a ≠ 0), Phương trình bậc hai một ẩn

Câu hỏi số 19666:

Trên các cạnh của một hình chữ nhật đặt lần lượt 4 điểm tùy ý. Bốn điểm này tạo thành một tứ giác có độ dài các cạnh lần lượt là x, y, z, t. Chứng minh rẳng 25 ≤ x² + y² + z² + t² ≤ 50. Biết rằng hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là 4 và 3.

A. x² + y²+ z² + t² ≥ 25

B. x² + y²+ z² + t² = 25

C. x² + y²+ z² + t² ≥ 23

D. x² + y²+ z² + t² ≤ 25

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:19666

Giải chi tiết

Giả sử hình chữ nhật ABCD (AB = 4, BC = 3) E, F, G, H lần lượt trên các cạnh AB, BC, CD, DA (EF = x, FG = y, GH = z, HE = t)

Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác vuông BEF( $\hat{B}$ = 90⁰), CFG( $\hat{C}$ = 90⁰), DGH( $\hat{D}$ = 90⁰), AHE ( $\hat{A}$ = 90⁰). Ta có :

EF² = BE² + BF², FG² = CF² + CG², GH² = DG² + DH², HE² = AH² + AE²

Mà AE² + BE² ≤ AE² + BE² + 2AE.BE = (AE + BE)² = 16

Tương tự BF² + CF² ≤ 9; CG² + DG² ≤ 16; DH² + AH² ≤ 9

Do đó EF² + FG² + GH² + HE² ≤ 16 + 9 + 16 + 9

Vậy x² + y² + z² + t² ≤ 50

Mặt khác: AE² + BE² = $\frac{(AE+BE)^{2}+(AE-BE)^{2}}{2}\geq \frac{(AE+BE)^{2}}{2}=\frac{AB^{2}}{2}=\frac{4^{2}}{2}$ = 8

Tương tự BF² + CF² ≥ 4, 5; CG² + DG² ≥ 8; DH² + AH² ≥ 4,5

Do đó EF² + FG² + GH² + HE² ≥ 8 + 4,5 + 8 + 4,5

Vậy x² + y²+ z² + t² ≥ 25

Tóm lại, ta có 25 ≤ x² + y² + z² ≤ 50

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link