Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=+ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=++2(x+1)(y+1)+8

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 203:

Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y= $\sqrt{x-1}$ + $\sqrt{2y+2}$ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= $x^{2}$ + $y^{2}$ +2(x+1)(y+1)+8 $\sqrt{4-x-y}$

A. maxP=25 ,minP=18

B. maxP=24, minp=18

C. maxP=25, minP=17

D. maxP=23 ,minP=18

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:203

Giải chi tiết

Điều kiện x≥1,y≥-1

Suy ra x+y≥0

Sử dụng bất đẳng thức $(au+bv)^{2}$ ≥ $(a^{2}+b^{2})(u^{2}+v^{2})$ ta có

$(x+y)^{2}$ = $(\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2})^{2}$

= $(\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\sqrt{y+1})^{2}$ ≤3(x+y).

Suy ra 0≤x+y≤3. Đặt t=x+y

Khi đó t $\epsilon$ $\left[0,3\right]$ và

P= $(x+y)^{2}$ +2(x+y)+8 $\sqrt{4-(x+y)}$ = $t^{2}$ +2t+8 $\sqrt{4-t}$ +2

Xét hàm f(t)= $t^{2}$ +2t+8 $\sqrt{4-t}$ +2 trên $\left[0,3\right]$

Ta có f'(t)=2t+2- $\frac{4}{\sqrt{4-t}}$ ;

f''(t)=2- $\frac{2}{(\sqrt{4-t})^{3}}$ >0, với mọi t $\epsilon$ $\left[0,3\right]$

Suy ra f'(t) đồng biến trên $\left[0,3\right]$

Do đó f'(t)>f'(0)=0 với mọi t $\epsilon$ (0,3)

Suy ra f(t) đồng biến trên $\left[0,3\right]$

Do đó: maxP= $\max_{\left[0,3\right]}$ f(t)=f(3)=25, đạt khi t=3 hay x=2,y=1

minP= $\min_{\left[0,3\right]}$ f(t)=f(0)=18, đạt khi t=0 hay x=1, y=-1

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.