Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Xét hình trụ có đáy là một đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện. Diện tích xung quanh của hình trụ đó là:

Câu 205276: Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Xét hình trụ có đáy là một đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện. Diện tích xung quanh của hình trụ đó là:

A. \(\dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(\dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Câu hỏi : 205276

Quảng cáo

Đáp án : C
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của BC, O là tâm tam giác đều ABC

Vì ABCD là tứ diện đều \( \Rightarrow DO \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác ABC đều \( \Rightarrow AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AE = \dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(DO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow DO \bot AO \Rightarrow \Delta DOA\) vuông tại O\( \Rightarrow DO = \sqrt {D{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)( pitago)

\( \Rightarrow \) Chiều cao của hình trụ là: \(h=DO=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

Ta có: \({{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\)

Gọi r là bán kính đay của hình trụ. Vì đáy hình trụ nội tiếp tam giác ABC nên ta có:\({{S}_{\Delta ABC}}=p.r\)

Trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC \(\Rightarrow p=\dfrac{a+a+a}{2}=\dfrac{3a}{2}\) \(\Rightarrow r=\dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{p}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{3a}{2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: \({{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi \dfrac{a\sqrt{3}}{6}\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\pi {{a}^{2}}\)

Cách 2: Tính r vì tam giác ABC là tam giác đều \( \Rightarrow r = OE = \dfrac{1}{3}AE = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}a\)

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\pi {a^2}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.