Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Xét hình trụ có đáy là một đường tròn nội tiếp tam

Câu hỏi số 205276:

Vận dụng

Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Xét hình trụ có đáy là một đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện. Diện tích xung quanh của hình trụ đó là:

A. \(\dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(\dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:205276

Giải chi tiết

Gọi E là trung điểm của BC, O là tâm tam giác đều ABC

Vì ABCD là tứ diện đều \( \Rightarrow DO \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác ABC đều \( \Rightarrow AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AE = \dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(DO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow DO \bot AO \Rightarrow \Delta DOA\) vuông tại O\( \Rightarrow DO = \sqrt {D{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)( pitago)

\( \Rightarrow \) Chiều cao của hình trụ là: \(h=DO=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

Ta có: \({{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\)

Gọi r là bán kính đay của hình trụ. Vì đáy hình trụ nội tiếp tam giác ABC nên ta có:\({{S}_{\Delta ABC}}=p.r\)

Trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC \(\Rightarrow p=\dfrac{a+a+a}{2}=\dfrac{3a}{2}\) \(\Rightarrow r=\dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{p}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{3a}{2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: \({{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi \dfrac{a\sqrt{3}}{6}\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\pi {{a}^{2}}\)

Cách 2: Tính r vì tam giác ABC là tam giác đều \( \Rightarrow r = OE = \dfrac{1}{3}AE = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}a\)

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\pi {a^2}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.